Nous étudions le comportement en temps long des solutions des équations d'Euler en dimension deux qui sont invariantes par changement d'échelle admettant une symétrie par rotation d'un angle fixe $\frac{2\pi}{m}$, $m\in \mathbb{N}$. Nous montrons que toute solution à variation bornée sur $\mathbb{S}^1$ converge en temps infini vers une solution constante par morceaux admettant un nombre fini de sauts. Toute solution continue devient singulière et s'homogénéise en temps infini. Sur $\mathbb{R}^2$ ceci correspond à une formation générique de spirales et de points de rebroussement. L'outil principal de notre analyse est la découverte d'une fonctionnelle monotone qui mesure le nombre de particules sortant de l'origine. Cette monotonicité s'applique plus généralement, localement, à toutes les solutions des équations d'Euler en deux dimensions de l'espace qui ont une symétrie par rotation d'un angle fixe $\frac{2\pi}{m}$, $m\geq 4$ et qui admettent des limites radiales au point de symétrie.

Notre analyse s'applique également aux équations d'Euler sur une classe large de surfaces de rotation (par exemple $\mathbb{S}^2$ et $\mathbb{T}^2$). Notre analyse montre alors que génériquement les trajectoires des particules décrivent des spirales et qu'il y a génériquement une perte de régularité en temps infini pour des solutions globalement régulières sur une telle surface lisse sous la symétrie discrète.