Jonglage et théorie des automates

Jean-Christophe Novelli

L'exposé débute par une courte scène de jonglage où l'on présente les objectifs de l'exposé, à savoir :

• présenter des mathématiques au travers de l'étude d'un problème intervenant dans un autre contexte, ici, le jonglage. Les autres objectifs permettent de réaliser celui-ci ;
• proposer à un jongleur des figures qu'il ne connaît pas ;
• proposer en premier lieu une modélisation du jonglage en termes mathématiques ;
• étudier le modèle ainsi créé pour en déduire des résultats mathématiques aisément exploitables en terme de figures de jonglage ;
• enfin, étudier le modèle sous un angle combinatoire pour pouvoir engendrer et compter le nombre de figures de jonglage à nombre de balles et longueur de motif donnés.

Modélisation
La première partie propose une manière de mettre sous forme mathématique les figures de jonglage. Ainsi, on commence par simplifier ces figures pour ne garder que les parties réellement significatives. Par exemple, on impose que le rythme du jongleur est régulier, qu'il n'a jamais deux balles dans la même main, etc. Une fois les simplifications faites, on peut présenter un modèle satisfaisant des figures de jonglage. Essentiellement, on code un lancer de balle par le temps que la balle restera en l'air et ceci transforme une figure de jonglage en une suite d'entiers. On présente alors quelques remarques simples sur le modèle ainsi créé, ce qui permet à l'assistance de se familiariser avec ce nouvel objet. Enfin, on propose une représentation géométrique extrêmement utile du modèle choisi.

Automates
La deuxième partie permet d'explorer ce modèle mathématique. On commence tout d'abord par répondre à quelques questions naturelles du codage découvert dans la première partie. Par exemple, on montre que, à toute suite d'entiers ne correspond pas nécessairement de figure. On montre aussi qu'il est possible de compter le nombre de balles d'une suite d'entiers valides, sans avoir à imaginer une réalisation pratique de cette suite. On amène ainsi de façon naturelle la question des transitions entre figures de jonglage, ce qui nous permet de développer l'idée des photos d'une figure (penser aux états d'un automate) puis de décrire un automate qui reconnaît toutes les figures de jonglage réalisables. Une fois l'automate construit, de nouvelles questions mathématiques apparaissent, en particulier la question de décider si une suite d'entiers est valide ou non. Une fois cette question résolue, on dispose d'un moyen pour compter le nombre de telles suites, ce qui est l'objet de la troisième partie.

Énumération
La troisième partie permet de calculer de façon exacte le nombre de figures de jonglage à nombre de balles et plus petite période donnés. Cette partie est plus courte que les autres car la démonstration des résultats principaux est difficile et en grande partie très technique malgré l'étonnante simplicité du résultat. Cette partie permet aussi de montrer que le nombre de figures différentes est très grand (il y en a déjà douze de plus petite période 3 à 3 balles) et d'en exhiber quelques-unes.

Conclusion
On conclut cette étude en citant les références qui nous ont permis de préparer cet exposé et nous récapitulons l'ensemble de la démarche qui a abouti à nos résultats.