Introduction à l'o-minimalité par Zoé Chatzidakis

La théorie des modèles est une branche de la logique mathématique, qui étudie les théories élémentaires de certaines classes de structures algébriques, et utilise certaines propriétés de ces théories pour obtenir des résultats concrets parfois très surprenants et très puissants. L'o-minimalité est un exemple particulièrement frappant de ce phénomène. On part d'une notion très générale : une structure M munie d'un ordre dense sans extrémités, et d'autres relations/fonctions, est o-minimale, si tout sous ensemble définissable de M est une union finie d'intervalles et de points. Et l'on en déduit des propriétés très fortes, notamment des résultats d'uniformités de familles d'ensembles définissables. Un exemple classique de structure o-minimale est le corps des réels, muni de l'ordre habituel et des opérations d'addition et de multiplication. On peut ajouter au corps des réels de nombreuses fonctions, comme par exemple l'exponentielle, et garder une structure o-minimale. Je discuterai certains de ces exemples, et terminerai par un résultat très récent de Pila et Wilkie, qui a des applications en géométrie diophantienne, permettant notamment à Pila de montrer certains cas de la conjecture d'André-Oort. Aucune connaissance autre que celle du corps des réels ne sera supposée.