On définit une image $g(x)$ comme une fonction réelle sur le plan ; $g(x)$ est compris comme le “niveau de gris” au point $x$. Par segmentation de $g$, on entend une image approximante $u(x)$ qui est régulière par morceaux et qui minimise l'énergie $E(u) = \int _{\Omega \setminus S_u} |Du(x)|^2dx + \int _\Omega (u(x)-g(x))^2+{\cal H}^1(S_u),$ où $S_u$ désigne l'ensemble des discontinuités essentielles de $u$. La conjecture de Mumford–Shah (1985) exprime que $S_u$ est un ensemble fini de courbes $C^1$ quand $u$ est un minimum global de $E$. Cette conjecture a aussi une interprétation intéressante en physique de la fracturation des milieux élastiques. L'exposé s'attachera à décrire les différentes formalisations mathématiques du problème et leur apport à la conjecture : les fonctions spéciales à variation bornée de De Giorgi–Ambrosio, la méthode d'élimination de Dal Maso, Solimini et l'auteur, la rectifiabilité quantifiée de Françoise Dibos, Guy David et Stephen Semmes et la méthode de “blow-up”–“blow–in” d'Alexis Bonnet.