Le but de cet article est d'étendre au cadre bivariant le théorème de Jones, Goodwillie et Burghelea-Fiedorowicz (cf. [J], [G], [B-F]), qui prouve l'isomorphisme entre la cohomologie cyclique du complexe singulier d'un $S^1$-espace $X$ et la cohomologie $S^1$-équivariante de $X$. Nous faisons également la comparaison entre la longue suite exacte de Connes (théorie cyclique) et la longue suite exacte de Gysin (théorie $S^1$-équivariante). Nous prouvons aussi que dans quelques cas, la cohomologie cyclique bivariante peut être calculée comme la cohomologie cyclique (monovariante) d'un certain complexe mixte.