Soient $F$ un corps local non archimédien et $G$ le groupe ${\mathrm {GL}}(N,F)$, pour un entier $N\geq 2$. Soit $\pi$ une représentation lisse complexe de $G$ appartenant au bloc de Bernstein ${\mathcal {B}}(\pi )$ d'un type simple au sens de Bushnell et Kutzko [?]. En affinant l'approche que proposent le second auteur et U. Stuhler dans [?], nous attachons canoniquement à $\pi$ un sous-ensemble $X_\pi$ de l'immeuble de Bruhat-Tits $X$ de $G$, ainsi qu'un système de coefficients $G$-équivariant $\mathcal C [\pi ]$ sur $X_\pi$. Grossièrement parlant, le système de coefficients est construit en prenant des composantes isotypiques de $\pi$ selon des représentations construites à partir du type de Bushnell et Kutzko de $\pi$. Nous conjecturons que lorsque $\pi$ possède un caractère central, le complexe de chaînes augmenté associé à $\mathcal C [\pi ]$ est une résolution de $\pi$ dans la catégorie ${\mathcal {B}}(\pi )$. De plus nous réduisons cette conjecture à un lemme technique en théorie des représentations. Nous démontrons ce lemme lorsque $\pi$ est une représentation irréductible de la série discrète de $G$. Ensuite, suivant de près [?], nous attachons à toute représentation irréductible $\pi$ de la série discrète de $G$ un pseudo-coefficient explicite $f_\pi$ et obtenons une formule de type Lefschetz pour la valeur du caractère de Harish-Chandra de $\pi$ en un élément elliptique régulier. Contrairement à celle obtenue dans [?], notre formule permet des calculs explicites.