Composantes connexes des strates des espaces des modules des différentielles quadratiques
Connected components of the strata of the moduli spaces of quadratic differentials
Anglais
Dans des travaux maintenant classiques, Masur et Veech ont démontré indépendamment que le flot géodésique de Teichmüller est ergodique sur chaque composante connexe de chaque strate de l'espace des modules des différentielles quadratiques. Il devient dès lors intéressant d'avoir une description de ces composantes ergodiques. Veech a montré que ces strates ne sont pas nécessairement connexes. Dans un article récent, Kontsevich et Zorich donnent une description complète des composantes dans le cas particulier où les différentielles quadratiques sont données par le carré de différentielles abéliennes.
Dans cet article, nous considérons le cas complémentaire. Dans un précédent article, nous montrions que les strates ne sont pas forcément connexes. Nous donnions une série de strates non-connexes possédant des composantes connexes hyperelliptiques. Dans cet article, nous démontrons le théorème général suivant : excepté quatre cas particuliers en petits genres, les strates de l'espace des modules des différentielles quadratiques ont au plus deux composantes connexes, les cas de non-connexité étant décrits exactement par~notre article précédent : une composante est hyperelliptique, l'autre non.
Notre preuve repose principalement sur une nouvelle approche des différentielles quadratiques de type Jenkins-Strebel, à savoir la notion de permutations généralisées.