On introduit les bases du calcul $h$-pseudodifférentiel. On applique ce calcul pour prouver des estimations de Carleman elliptiques, ou paraboliques. En utilisant les inégalités de Carleman elliptiques, on prouve une inégalité de type spectral sur les combinaisons linéaires de fonctions propres du laplacien. Comme application de cette inégalité spectrale, on donne une preuve de la contrôlabilité exacte à zéro de l'équation de la chaleur dans un domaine régulier de $\mathbb R^n$. Enfin, on donne une preuve alternative de la contrôlabilité exacte à zéro de l'équation de la chaleur en utilisant les estimations de Carleman paraboliques.