Soient $K$ un corps de caractéristique impaire $p$ et $f(x)$ un polynôme irréductible séparable dans $K[x]$ de degré $n \ge 5$, avec grand groupe de Galois (le groupe symétrique ou le groupe alterné). Soit $C$ la courbe hyperelliptique $y^2=f(x)$ et $J(C)$ sa jacobienne. Nous montrons que $J(C)$ n'a pas d'endomorphisme non trivial sur une clôture algébrique de $K$ si $n\ge 7$ ou $p \ne 3$.