SMF

Les endomorphismes $\mathfrak {k}$-finis des modules de Whittaker

Aboubeker Zahid
Les endomorphismes $\mathfrak {k}$-finis des modules de Whittaker
  • Année : 1989
  • Fascicule : 4
  • Tome : 117
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Pages : 451-477
  • DOI : 10.24033/bsmf.2132
Soit $\mathfrak {g}$ une algèbre de Lie semi-simple complexe, $\mathrm {Wh}$ un module de Whittaker simple. On donne une décomposition de l'algèbre des endomorphismes $\mathfrak {k}$-finis, de $\mathrm {Wh}$ dans $\mathrm {Wh}$, en somme directe de modules de Harish-Chandra simples, suivant le groupe $P(R)/Q(R)$. Ceci étant fait, pour un choix très particulier du caractère central du module de Whittaker, on peut par un principe de translation par les éléments de ${ P}({ R})$, récupérer le résultat pour les autres caractères. On obtient en particulier une famille de suralgèbres $\mathfrak {k}$-finis de l'algèbre enveloppante de $\mathfrak {g}$. Ces suralgèbres semblent très intéressantes à étudier ; en effet on obtient dans le cas de $\mathfrak {g}=\mathfrak {sl}_2({\mathbb {C}})$, soit l'algèbre de Weyl $A_1$, soit en translatant, l'algèbre des opérateurs différentiels sur une courbe singulière. Dans le cas de $\mathfrak {g}=\mathfrak {sl}_3({\mathbb {C}})$, on obtient le quotient de l'algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie exceptionnelle de dimension $14$, par un idéal primitif complètement premier.
Let $\mathfrak {g}$ be a complex semisimple Lie algebra, and let $\mathrm {Wh}$ a simple Whittaker module. We give a decomposition of the algebra of $\mathfrak {k}$-finite vectors of $\mathrm {End}_{\mathbb {C}}(\mathrm {Wh})$, as direct sum of Harish-chandra submodules. We then obtain a family of over rings of certain primitives quotients of enveloping algebras. In the cases $\mathfrak {g}=\mathfrak {sl}_2({\mathbb {C}})$ and $\mathfrak {g}=\mathfrak {sl}_3({\mathbb {C}})$ the structure of this rings is uniquely determined by their structure of $\mathfrak {g}$-module.
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