Soit $P$ un ensemble ordonné. On définit une nouvelle théorie d'homotopie d'espaces topologiques $P$-stratifiés agréables en un sens convenable, avec des équivalences sur les strates et des liens inversés. On montre que la construction du “chemin de sortie” de MacPherson, Treumann et Lurie définit une équivalence de notre théorie d'homotopie des espaces topologiques $P$-stratifiés avec la $\infty$-catégorie des $\infty$-catégories avec un foncteur conservatif à $P$. Cela démontre une forme stratifiée de l'hypothèse d'homotopie de Grothendieck, et prouve une conjecture d'Ayala-Francis-Rozenblyum. Cette théorie de l'homotopie des espaces stratifiés a l'avantage supplémentaire d'englober tous les exemples d'intérêt géométrique: les espaces coniquement stratifiés s'intègrent dans notre théorie, et la théorie de l'homotopie d'Ayala-Francis-Tanaka-Rozenblyum des espaces stratifiés coniquement lisses s'intègre dans la nôtre.