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La compacité par compensation trilinéaire et la conjecture de Burnett en relativité générale

Trilinear compensated compactness and Burnett's conjecture in general relativity

Cécile HUNEAU, Jonathan LUK
La compacité par compensation trilinéaire et la conjecture de Burnett en relativité générale
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  • Année : 2024
  • Fascicule : 2
  • Tome : 57
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B99; 83C35, 35Q76
  • Pages : 385-472
  • DOI : 10.24033/asens.2577

Dans cet article, nous considérons une suite de métriques lorentziennes $\{h_n\}_{n=1}^{+\infty}$, de classe $C^4$, satisfaisant les équations d'Einstein dans le vide $\mathrm{Ric}(h_n)=0$. Nous supposons qu'il existe une métrique lorentzienne $h_0$ sur $\mathcal M$, de classe $C^\infty$, telle que $h_n\to h_0$ uniformément sur tout compact. Nous supposons aussi que sur tout compact $K\subset \mathcal M$ il existe une suite de nombres strictement positifs $\lambda_n \to 0$ tels que

$$\|\partial^\alpha (h_n - h_0)\|_{L^∞(K)} ≲ \lambda_n^{1-|\alpha|},\quad |\alpha|\geq 4.$$
Il est bien connu que $h_0$, qui représente une « limite haute-fréquence » n'est pas forcément solution des équations d'Einstein dans le vide. Cependant, il a été conjecturé par Burnett que $h_0$ devait être isométrique à une solution des équations d'Einstein couplées à un champ de Vlasov sans masse. Dans cet article, nous prouvons la conjecture de Burnett en supposant que $\{h_n\}_{n=1}^{+\infty}$ et $h_0$ admettent en plus une symétrie $\mathbb U(1)$ et satisfont une condition de jauge elliptique. La preuve utilise les mesures de défaut microlocales -- on identifie une mesure de défaut microlocale définie de manière ad hoc comme étant la mesure de Vlasov dans l'espace-temps limite. Afin de montrer que cette mesure satisfait bien les équations de Vlasov, nous avons besoin d'annulations particulières qui reposent sur la structure précise des équations d'Einstein. Ces annulations sont liées à un nouveau phénomène de « compacité par compensation trilinéaire » pour des solutions d'un système couplant des équations elliptiques semi-linéaires à des équations hyperboliques quasilinéaires.

Consider a sequence of $C^4$ Lorentzian metrics $\{h_n\}_{n=1}^{+\infty}$ on a manifold $\mathcal M$ satisfying the Einstein vacuum equation $\mathrm{Ric}(h_n)=0$. Suppose there exists a smooth Lorentzian metric $h_0$ on $\mathcal M$ such that $h_n\to h_0$ uniformly on compact sets. Assume also that on any compact set $K\subset \mathcal M$, there is a decreasing sequence of positive numbers $\lambda_n \to 0$ such that

$$\|\partial^\alpha (h_n - h_0)\|_{L^∞(K)} ≲ \lambda_n^{1-|\alpha|},\quad |\alpha|\geq 4.$$
It is well-known that $h_0$, which represents a ``high-frequency limit'', is not necessarily a solution to the Einstein vacuum equation. Nevertheless, Burnett conjectured that $h_0$ must be isometric to a solution to the Einstein-massless Vlasov system.

In this paper, we prove Burnett's conjecture assuming that $\{h_n\}_{n=1}^{+\infty}$ and $h_0$ in addition admit a $\mathbb U(1)$ symmetry and obey an elliptic gauge condition. The proof uses microlocal defect measures---we identify an appropriately defined microlocal defect measure to be the Vlasov measure of the limit spacetime. In order to show that this measure indeed obeys the Vlasov equation, we need some special cancellations which rely on the precise structure of the Einstein equations. These cancellations are related to a new ``trilinear compensated compactness'' phenomenon for solutions to (semilinear) elliptic and (quasilinear) hyperbolic equations.

Ondes gravitationnelles de hautes fréquences, Compacité par compensation, Conjecture de Burnett, Le système d'Einstein--Vlasov
High-frequency gravitational waves, compensated compactness, Burnett's conjecture, Einstein--Vlasov system

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