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Théorie des types et système de coefficients sur l'immeuble

Type theory and coefficient systems on the building

Paul Broussous, Peter Schneider
Théorie des types et système de coefficients sur l'immeuble
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  • Année : 2017
  • Tome : 145
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 97-159
  • DOI : 10.24033/bsmf.2732
Soient $F$ un corps local non archimédien et $G$ le groupe ${\mathrm {GL}}(N,F)$, pour un entier $N\geq 2$. Soit $\pi $ une représentation lisse complexe de $G$ appartenant au bloc de Bernstein ${\mathcal {B}}(\pi )$ d'un type simple au sens de Bushnell et Kutzko [?]. En affinant l'approche que proposent le second auteur et U. Stuhler dans [?], nous attachons canoniquement à $\pi $ un sous-ensemble $X_\pi $ de l'immeuble de Bruhat-Tits $X$ de $G$, ainsi qu'un système de coefficients $G$-équivariant $\mathcal C [\pi ]$ sur $X_\pi $. Grossièrement parlant, le système de coefficients est construit en prenant des composantes isotypiques de $\pi $ selon des représentations construites à partir du type de Bushnell et Kutzko de $\pi $. Nous conjecturons que lorsque $\pi $ possède un caractère central, le complexe de chaînes augmenté associé à $\mathcal C [\pi ]$ est une résolution de $\pi $ dans la catégorie ${\mathcal {B}}(\pi )$. De plus nous réduisons cette conjecture à un lemme technique en théorie des représentations. Nous démontrons ce lemme lorsque $\pi $ est une représentation irréductible de la série discrète de $G$. Ensuite, suivant de près [?], nous attachons à toute représentation irréductible $\pi $ de la série discrète de $G$ un pseudo-coefficient explicite $f_\pi $ et obtenons une formule de type Lefschetz pour la valeur du caractère de Harish-Chandra de $\pi $ en un élément elliptique régulier. Contrairement à celle obtenue dans [?], notre formule permet des calculs explicites.
Let $F$ be a non-archimedean local field and $G$ be the group ${\mathrm {GL}}(N,F)$ for some integer $N\geq 2$. Let $\pi $ be a smooth complex representation of $G$ lying in the Bernstein block ${\mathcal {B}}(\pi )$ of some simple type in the sense of Bushnell and Kutzko [?]. Refining the approach of the second author and U. Stuhler in [?], we canonically attach to $\pi $ a subset $X_\pi $ of the Bruhat-Tits building $X$ of $G$, as well as a $G$-equivariant coefficient system $\mathcal C [\pi ]$ on $X_\pi $. Roughly speaking the coefficient system is obtained by taking isotypic components of $\pi $ according to some representations constructed from the Bushnell and Kutzko type of $\pi $. We conjecture that when $\pi $ has central character, the augmented chain complex associate to $\mathcal C [\pi ]$ is a projective resolution of $\pi $ in the category ${\mathcal {B}}(\pi )$. Moreover we reduce this conjecture to a technical lemma of representation theoretic nature. We prove this lemma when $\pi $ is an irreducible discrete series of $G$. Following closely [?], we then attach to any irreducible discrete series $\pi $ of $G$ an explicit pseudo-coefficient $f_\pi $ and obtain a Lefschetz type formula for the value of the Harish-Chandra character of $\pi $ at a regular elliptic element. In contrast to that of [?], this formula allows explicit character value computations.
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