Sommes de carrés : arithmétique ou géométrie ?
Des triplets pythagoriciens au théorème de Fermat-Wiles, la recherche des solutions entières des équations polynomiales est une question centrale en arithmétique depuis des millénaires. Si les équations de degré 1 se traitent grâce à l'algorithme d'Euclide, le cas du degré 2 contient les questions classiques suivantes.
- Peut-on déterminer tous les triangles rectangles à côtés entiers ?
- Quels sont les nombres entiers qui sont sommes de deux, trois ou quatre carrés d'entiers ?
- Pour savoir si une équation de degré 2 a une solution en nombres entiers, suffit-il de résoudre le même problème modulo certains entiers bien choisis ?
- Existe-t-il un algorithme permettant de résoudre ces problèmes en général ?
Le conférencier présente plusieurs approches utilisant, entre autres, la géométrie et les nombres p-adiques (des nombres avec une infinité de chiffres *avant* la virgule).
Courte bibliographie :
- Kenneth Ireland et Michael Rosen : A Classical Introduction to Modern Number Theory. -> Commence à un niveau très élémentaire (plus accessible que Serre), et aborde de nombreuses équations diophantiennes importantes et classiques. Peut-être abordé dès la fin du lycée (au moins pour le début du livre).
- Jean-Pierre Serre : Cours d'arithmétique. -> Nombres p-adiques, réciprocité quadratique, théorème de Hasse-Minkowski, et beaucoup d'autres choses. Un grand classique, à partir du L3.
- Bjorn Poonen : Undecidability in number theory. -> plus avancé, un survol très agréable autour du théorème de Matiyasevich. http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/h10_notices.pdf
Les vidéos illustrant la conférence (qui n'ont pas pu être diffusées) :
Première vidéo (https://youtu.be/gCRnyserSnM) : projection d'un ellipsoïde rouge sur un plan bleu à partir d'un point blanc P. Presque toute droite passant par P coupe l'ellipsoïde en un unique autre point, et également le plan bleu, ce qui permet de définir la projection. La construction ne marche pas si la droite est parallèle au plan, ou si la droite est tangente à l'ellipsoïde.
Seconde vidéo ( https://youtu.be/ybCtZnav1BY): projection d'un hyperboloïde rouge sur un plan bleu, à partir d'un point blanc P. Presque toute droite passant par P coupe l'hyperboloïde en un unique autre point, et également le plan bleu, ce qui permet de définir la projection. La construction ne marche pas si la droite est parallèle au plan, si la droite est tangente au paraboloïde, ou enfin si la droite en contenue dans l'hyperboloïde (droites noires).
Le cycle "Une question, un chercheur"
