Programme de Langlands et caractéristique p par Christophe Breuil

Christophe Breuil travaille en arithmétique et en géométrie algébrique. Ses recherches se répartissent selon deux axes : théorie de Hodge p-adique entière (et applications), programme de Langlands p-adique pour des groupes réductifs p-adiques arbitraires (et applications).

Dans les années 60, le mathématicien canadien Robert Langlands a formulé un vaste programme qui a impulsé une part substantielle des recherches des dernières décennies en théorie des nombres ainsi qu’en géométrie algébrique. Cet ensemble de conjectures appelé aujourd’hui programme de Langlands ou correspondance de Langlands dresse des ponts entre la théorie des nombres et d’autres parties des mathématiques, notamment la théorie des représentations des groupes et la théorie de certaines fonctions nommées formes automorphes. C’est dans ce cadre que se placent les travaux de Christophe Breuil. Le programme de Langlands vise à relier des représentations de groupes de Galois à des représentations de groupes algébriques réductifs. Mais ces dernières sont des représentations complexes et non p-adiques. Le point nouveau et fondamental de l’approche initiée par Christophe Breuil avec le programme de Langlands " p-adique " est précisément l’apparition possible d’une correspondance avec de la topologie p-adique des deux côtés. L’un des objectifs de ce programme consiste notamment à comprendre comment la théorie de Hodge p-adique côté représentations de Galois (qui est essentiellement absente du programme de Langlands classique) peut s’incarner côté représentations de GLn(L) où L est une extension finie de Qp. Ce programme, bien qu’encore à ses débuts (il est totalement résolu seulement pour GL2(Qp)) a déjà eu des applications profondes à des théorèmes de modularité.

Les travaux menés par Christophe Breuil dans la première partie de sa carrière portent sur la théorie de Hodge p-adique entière et ses applications [1]. Durant la deuxième partie de sa carrière, Christophe Breuil a travaillé sur le Programme de Langlands p-adique. Le programme de Langlands p-adique est maintenant bien compris dans le cas de GL2(Qp) grâce notamment aux travaux de Christophe Breuil et de ses co-auteurs et à ceux de Pierre Colmez. Christophe Breuil s’est ensuite attelé avec ses élèves et co-auteurs au développement du programme de Langlands p-adique pour d’autres groupes que GL2(Qp). Avec Vytautas Paskunas [2], il a réalisé plusieurs étapes importantes en direction d’une correspondance de Langlands modulo p pour le groupe GL2(L) avec L non ramifiée sur Qp.

Christophe Breuil a par la suite exploré la situation de GLn(L) avec pour objectif d’essayer de dégager des phénomènes généraux, éventuellement conjecturaux, du programme de Langlands p-adique qui ne sont pas liés à la situation particulière de GL2(L) (et encore moins de GL2(Qp)). Il a notamment développé, avec Florian Herzig et Benjamin Schraen, un vaste "corpus conjectural" qui décrit le nombre, la nature et la position des constituants hypothétiques des représentations de GLn(L) obtenues via la correspondance de Langlands p-adique [3]. Avec Eugen Hellmann et Benjamin Schraen, il a récemment obtenu des résultats importants sur les vecteurs localement analytiques des représentations de GLn(L) ci-dessus, résultats qui ont par ailleurs eu comme applications de nouveaux théorèmes de modularité ([4], [5], [6]).

Références :

[1] Christophe Breuil, Groupes p-divisibles, groupes finis et modules filtrés, Annals of Math. 151, 2000, 489-549.

[2] Christophe Breuil et Vytautas Paskunas, Towards a modulo p Langlands correspondence for GL2, Memoirs of Amer. Math. Soc. 216, 2012.

[3] Christophe Breuil et Florian Herzig, Ordinary representations of G(Qp) and fundamental algebraicrepresentations, Duke Math. J. 164, 2015, 1271-1352.

[4] Christophe Breuil, Eugen Hellmann et Benjamin Schraen, Une interprétation modulaire de la variété trianguline, Math. Annalen 367, 2017, 1587-1645.

[5] Smoothness and classicality on eigenvarieties (avec E. Hellmann et B. Schraen), Inventiones Math. 209, 2017, 197-274.

[6] A local model for the trianguline variety and applications (avec E. Hellmann et B. Schraen), Publications Mathématiques de l'I.H.E.S. 129, 2019, 299-412.