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Hammersley, feux de forêt, porosité et réseaux
par M. Théret

Conférence donnée dans le cadre du cycle "Un texte, un mathématicien"

En 1954, le mathématicien anglais John Hammersley est en poste à Oxford. En collaboration avec Bill Morton, il publie un article sur les méthodes de Monte Carlo - méthodes qui permettent de calculer des valeurs approchées d'intégrales grâce à des outils issus des probabilités. Ces travaux sont suivis d’une discussion à laquelle participe l’ingénieur Simon Broadbent, alors employé de la British Coal Utilization Association, où il est impliqué dans la conception de masques à gaz pour protéger les mineurs travaillant dans les mines de charbon. Simon Broadbent y propose une modélisation très simple d’un milieu poreux, utilisant le langage des probabilités, et s’interroge sur ce que peuvent dire les mathématiques d’un tel modèle. Hammersley perçoit l’intérêt du modèle suggéré par Broadbent : c’est le début d’une collaboration qui aboutira en 1957 à la définition mathématique précise du modèle de percolation et au début de son étude.

La percolation désigne le passage d’un fluide à travers un milieu plus ou moins perméable. La même racine latine apparaît dans le mot percolateur, qui permet d'obtenir un expresso en faisant passer de l’eau à travers les grains de café moulu. Intuitivement, le modèle de percolation est le suivant : pour comprendre la circulation d’un fluide à travers un morceau de roche, on imagine que celle-ci est traversée par un réseau de petits tuyaux microscopiques qui sont soit bouchés, soit ouverts (c'est-à-dire qu’ils laissent passer l’eau), aléatoirement et indépendamment les uns des autres. Suivant la densité des petits tuyaux ouverts, la roche est plus ou moins poreuse, et c’est le lien entre ces deux propriétés – densité des tuyaux microscopiques ouverts et porosité de la roche – qu’il est intéressant de comprendre.

La percolation modélise plus généralement des phénomènes de propagation : infiltration de l’eau ou d’un gaz dans une roche poreuse, mais aussi propagation d’un feu dans une forêt, d’une maladie au sein d’une population, ou d’une information sur un réseau social. Ce modèle est parfois trop élémentaire car il stipule qu'un tuyau microscopique est soit bouché, soit ouvert, sans quantifier le degré d'ouverture. Pour aller plus loin, Hammersley a défini la percolation de premier passage en 1965 en collaboration avec son étudiant en thèse Dominic Welsh. Il s'agit d'une variante de la percolation dans laquelle on associe à chaque petit tuyau le temps (aléatoire) nécessaire au fluide pour le traverser. On peut alors étudier l'évolution temporelle de la zone mouillée à l’intérieur d’une roche poreuse s’il y a une infiltration d’eau en un point de sa surface.

Ces deux modèles – percolation et percolation de premier passage - sont incroyablement riches, à la fois simples à définir et complexes à étudier. Depuis plus de cinquante ans, ils attirent l’attention de nombreux chercheurs qui ont dû faire preuve d’imagination, d’ingéniosité, de pugnacité et de rigueur pour progresser dans leur étude. Et pourtant, il reste encore beaucoup à comprendre et à expliquer !

 

Les textes de départ

S.R. BROADBENT, J.M. HAMMERSLEY, Percolation processes I. Crystals and mazes, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 53 (1957), pp. 629-641.

 

J.M. HAMMERSLEY, D.J.A. WELSH, First-passage percolation, subadditive processes, stochastic networks ans generalized renewal theory, Bernoulli, Bayes, Laplace Anniversary Volume (J. Neyman and L. LeCam, eds.), Springer, Berlin (1965), pp. 61-110.

 

Marie Théret

Marie Théret

Marie Théret a obtenu son doctorat en mathématiques en 2009. Après être passée par l’université Paris Sud, l’École normale supérieure et l’université Paris Diderot, elle rejoint l’université Paris Nanterre en tant que professeure en 2018. Ses travaux de recherche se situent dans le domaine des probabilités et portent principalement sur le modèle de percolation de premier passage.

 

 

Une bibliographie pour en savoir plus

 

 

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18.03.2020
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