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Relèvement de la transformée de Cartier d'Ogus-Vologodsky modulo $p^n$

Lifting the Cartier transform of Ogus-Vologodsky modulo $p^{n}$

Daxin XU
Relèvement de la transformée de Cartier d'Ogus-Vologodsky modulo $p^n$
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  • Année : 2019
  • Tome : 163
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14F30, 14F10
  • Nb. de pages : vi+138
  • ISBN : 978-2-85629-909-8
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.471

Soient $\mathrm{W}$ l'anneau des vecteurs de Witt d'un corps parfait de caractéristique $p>0$, $\mathfrak{X}$ un schéma formel lisse sur $\mathrm{W}$, $\mathfrak{X}'$ le changement de base de $\mathfrak{X}$ par l'endomorphisme de Frobenius de $\mathrm{W}$, $\mathfrak{X}_{2}'$ la réduction modulo $p^{2}$ de $\mathfrak{X}'$ et $X$ la fibre spéciale de $\mathfrak{X}$. On relève la transformée de Cartier d'Ogus-Vologodsky définie par $\mathfrak{X}_{2}'$. Plus précisément, on construit un foncteur de la catégorie des $\mathscr{O}_{\mathfrak{X}'}$-modules de $p^{n}$-torsion à $p$-connexion intégrable dans la catégorie des $\mathscr{O}_{\mathfrak{X}}$-modules de $p^{n}$-torsion à connexion intégrable, chacune étant soumise à des conditions de nilpotence appropriées.
S'il existe un relèvement $F:\mathfrak{X}\to \mathfrak{X}'$ du morphisme de Frobenius relatif de $X$, notre foncteur est compatible avec une construction "locale" de Shiho définie par $F$.
Comme application de la transformée de Cartier modulo $p^{n}$, on donne une nouvelle interprétation des modules de Fontaine relatifs introduits par Faltings et du calcul de leur cohomologie.

Let $\mathrm{W}$ be the ring of the Witt vectors of a perfect field of characteristic $p$, $\mathfrak{X}$ a smooth formal scheme over $\mathrm{W}$, $\mathfrak{X}'$ the base change of $\mathfrak{X}$ by the Frobenius morphism of $\mathrm{W}$, $\mathfrak{X}_{2}'$ the reduction modulo~$p^{2}$ of $\mathfrak{X}'$ and $X$ the special fiber of $\mathfrak{X}$.
We lift the Cartier transform of Ogus-Vologodsky defined by $\mathfrak{X}_{2}'$ modulo $p^{n}$. More precisely, we construct a functor from the category of $p^{n}$-torsion $\mathscr{O}_{\mathfrak{X}'}$-modules with integrable $p$-connection to the category of $p^{n}$-torsion $\mathscr{O}_{\mathfrak{X}}$-modules with integrable connection, each subject to suitable nilpotence conditions. Our construction is based on Oyama's reformulation of the Cartier transform of Ogus-Vologodsky in characteristic $p$.
If there exists a lifting $F:\mathfrak{X}\to \mathfrak{X}'$ of the relative Frobenius morphism of $X$, our functor is compatible with a functor constructed by Shiho from $F$. As an application, we give a new interpretation of Faltings' relative Fontaine modules and of the computation of their cohomology.

Cohomologie $p$\yh-adique, cohomologie cristalline, théorie de Hodge $p$\yh-adique
$p$\yh-adic cohomology, crystalline cohomology, $p$\yh-adic Hodge theory
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