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Spécialisation des groupes de Néron-Severi en caractéristique non nulle

Specialization of Néron-Severi groups in positive characteristic

Emiliano AMBROSI
Spécialisation des groupes de Néron-Severi en caractéristique non nulle
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 3
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14C25, 14D10; 14F30, 14G17
  • Pages : 665-711
  • DOI : 10.24033/asens.2542

Soit $k$ un corps infini de type fini et de caractéristique $p>0$. Soit $X$ un schéma séparé, lisse, géométriquement connexe et de type fini sur $k$ et $f:Y\rightarrow X$ un morphisme propre et lisse. Le résultat principal de cet article est qu'il y a "beaucoup" des points fermés $x\in X$ tels que le rang du groupe de Néron-Severi géométrique de la fibre en $x$ est le même que celui de la fibre générique. Si $X$ est une courbe, sous une hypothèse technique minimale, on montre que cela est vrai pour tous les points $k$-rationnels sauf un nombre fini. Pour $k$ de caractéristique $0$, ces résultats sont dus à André (existence) et Cadoret-Tamagawa (finitude) en utilisant la théorie de Hodge. Pour étendre l'argument en caractéristique positive, on utilise la conjecture variationnelle de Tate en cohomologie cristalline, la comparaison entre différentes cohomologies $p$-adiques et des techniques d'indépendance. Ce résultat donne lieu à des applications à la conjecture de Tate pour les diviseurs, à la borne uniforme des groupes de Brauer, aux familles propres de variétés projectives et à l'étude des familles de sections hyperplans de variétés projectives lisses.

Let $k$ be an infinite finitely generated field of characteristic $p>0$. Fix a separated scheme $X$ smooth, geometrically connected, and of finite type over $k$ and a smooth proper morphism $f:Y\rightarrow X$. The main result of this paper is that there are "lots of'' closed points $x\in X$ such that the fiber of $f$ at $x$ has the same geometric Picard rank as the generic fiber. If $X$ is a curve we show, under a minimal technical assumption, that this is true for all but finitely many $k$-rational points. In characteristic zero, these results have been proved by André (existence) and Cadoret-Tamagawa (finiteness) using Hodge theoretic methods. To extend the argument in positive characteristic we use the variational Tate conjecture in crystalline cohomology, the comparison between various $p$-adic cohomology theories and independence techniques. The result has applications to the Tate conjecture for divisors, uniform boundedness of Brauer groups, proper families of projective varieties and to the study of families of hyperplane sections of smooth projective varieties.

Groupe de Néron-Severi, spécialisation, F-isocristaux surconvergent, monodromie, conjecture variationnelle de Tate
Néron-Severi group, specialization, overconvergent F-isocrystal, monodromy, variational Tate conjecture

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