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Représentations cuspidales de GLr(D) distinguées par une involution intérieure

Cuspidal representations of GL(r,D) distinguished by an inner involution

Vincent SÉCHERRE
Représentations cuspidales de $GL_r(D)$ distinguées par une involution intérieure
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  • Année : 2024
  • Fascicule : 4
  • Tome : 57
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22E50
  • Pages : 961-1038
  • DOI : 10.24033/asens.2585

Soit un entier n1, soit F un corps localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle p2 et soit G une forme intérieure de GL2n(F). C'est un groupe de la forme GLr(D) pour un entier r1 et une F-algèbre à division D de degré réduit d tel que rd=2n. Soit K une extension quadratique de F dans l'algèbre des matrices de taille r à coefficients dans D, et soit H son centralisateur dans G. Nous étudions les représentations cuspidales autoduales complexes de G et leur distinction par H du point de vue de la théorie des types. Si π est une telle représentation et si ϕ est son paramètre de Langlands, nous calculons la valeur en 1/2 du facteur epsilon de la restriction de ϕ au groupe de Weil-Deligne de K, notée eK(ϕ). Lorsque F est de caractéristique nulle, nous en déduisons que π est distinguée par H si et seulement si ϕ est de parité symplectique et eK(ϕ)=(1)r. Ceci prouve dans ce cas une conjecture de Prasad et Takloo-Bighash.

Let n be a positive integer, F a non-Archimedean locally compact field of residue characteristic p2 and G an inner form of GL2n(F). This is a group of the form GLr(D) for a positive integer r and division F-algebra D of reduced degree d such that rd=2n. Let K be a quadratic extension of F in the algebra of matrices of size r with coefficients in D, and H be its centralizer in G. We study selfdual cuspidal complex representations of G and their distinction by H from the point of view of type theory. Given such a representation π, we compute the value at 1/2 of the epsilon factor of the restriction of the Langlands parameter ϕ of π to the Weil-Deligne group of K, denoted eK(ϕ). When F has characteristic 0, we deduce that π is H-distinguished if and only if ϕ is symplectic and eK(ϕ)=(1)r.
This proves in this case a conjecture by Prasad-Takloo-Bighash.

Cuspidal representation, distinguished representation, Endo-class, root number, symplectic parameter, type theory
Cuspidal representation, distinguished representation, Endo-class, root number, symplectic parameter, type theory

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