Une des questions fondamentales de la théorie analytique des nombres est de comprendre la distribution des valeurs centrales d'une famille de fonctions $L$, par exemple $L(\frac{1}{2}, \chi)$ lorsque $\chi$ parcourt tous les caractères de Dirichlet quadratiques. Dans ce cas, une conjecture de Conrey-Farmer-Keating-Rubinstein-Snaith prédit le comportement asymptotique de leurs moments. Je présenterai des travaux récents de Bergström-Diaconu-Petersen-Westerland et Miller-Patzt-Petersen-Randal-Williams établissant l'analogue de cette conjecture sur les corps de fonctions. Dans ce cadre, la formule de traces de Grothendieck-Lefschetz réduit l'étude des moments à celle de la cohomologie d'un espace de modules de courbes hyperelliptiques à coefficients dans un système local symplectique, et il s'agit alors de démontrer un théorème de stabilité homologique du même style que la conjecture de Mumford (théorème de Madsen-Weiss) pour l'espace de modules de toutes les courbes. J'expliquerai les grandes lignes des arguments de topologie algébrique qui permettent de le faire, notamment le rôle des « applications de scanner ».