Le programme de Langlands est un réseau complexe de conjectures qui rassemble différents pans des mathématiques, comme la théorie des nombres, la géométrie algébrique et la théorie des représentations. Il y a plusieurs déclinaisons du programme de Langlands : local et global, arithmétique et géométrique. Traditionnellement, le programme de Langlands arithmétique, dans le cadre des corps \(p\)-adiques et des corps de nombres, n'a pas bénéficié de la flexibilité disponible dans d'autres cadres plus géométriques.

Dans cet exposé, nous donnerons un aperçu du travail récent de Fargues et Scholze, qui fournit une géométrisation de la correspondance de Langlands locale et qui fonctionne en particulier pour les corps \(p\)-adique.  Une conséquence concrète de ce travail est la construction générale de paramètres de Langlands semisimples locaux rattachés aux représentations irréductibles lisses des groupes \(p\)-adiques.

En fait, le travail de Fargues et Scholze offre beaucoup plus que cette construction, en introduisant dans ce cadre de puissantes et nouvelles techniques et structures provenant du programme de Langlands géométrique.  L'objet géométrique clé sous-jacent est le champs des modules des fibrés vectoriels (ou, plus généralement, des \(G\)-fibrés) au dessus de la courbe de Fargues et Fontaine.  Nous décrirons la géométrie de cet espace, son lien avec la théorie des représentations des groupes \(p\)-adiques, et nous évoquerons les structures additionnelles qu'il permet d'accéder.

Pour faire ressentir l'impact formidable que le travail de Fargues et Scholze a déjà eu dans le domaine, nous terminerons en mentionnant quelques applications frappantes qui ont été développées depuis par différents chercheurs : à la théorie des représentations des groupes \(p\)-adiques et à la cohomologie des variétés de Shimura locales et globales.