L'incomplétude de Gödel : les limites de la méthode axiomatique

par S. Anscombe

Au tournant du XXe siècle, les mathématiciens ont cherché à fonder l'ensemble de la vérité mathématique sur quelques règles de départ inébranlables, appelées axiomes : des énoncés que l'on choisit d'admettre sans les démontrer, et dont on déduit tout le reste — un peu comme les règles d'un jeu, à partir desquelles se déroulent toutes les parties possibles. Le grand rêve était de bâtir un cadre unifié capable de prouver ou de réfuter n'importe quelle proposition. En 1931, Kurt Gödel a brisé cette attente : quel que soit le système de règles choisi, pourvu qu'il ne se contredise pas lui-même et qu'il soit assez riche pour parler des nombres entiers, il y aura toujours des affirmations vraies qu'il ne permet pas de démontrer. Autrement dit, il manquera toujours quelque chose — c'est ce que l'on appelle ses théorèmes d'incomplétude. Nous verrons comment Gödel a réussi ce tour de force, pourquoi « vrai » et « démontrable » ne veulent pas dire la même chose, et ce que cela nous apprend encore aujourd'hui, à l'heure des ordinateurs et de l'intelligence artificielle.