Les transformations de Luigi Cremona au fil d'un siècle

par S. Cantat

En 1864, depuis Milan, Luigi Cremona fait parvenir un texte de plus de cent pages à l’Académie des sciences de Berlin. Il espère ainsi recevoir le prix Steiner, nouvellement créé, qu’il partagera finalement avec Rudolf Sturm. Son texte traite des surfaces cubiques, donc de la géométrie des surfaces qui sont définies par des équations polynomiales. Combien y a-t-il de droites tracées le long d’une telle surface ? Peut-on passer d’une telle surface au plan par une construction géométrique analogue à la projection stéréographique ? C’est à ce type de questions qu’il répond.

Cent ans plus tard, près de Boston, Edward Lorenz s’intéresse à des modèles simplifiés décrivant les mouvements de l’atmosphère et les phénomènes de convection. Il découvre un objet mathématique qui deviendra l’un des joyaux de la théorie des systèmes dynamiques et sera rapidement appelé *l’attracteur de Lorenz*. Cet \`\`attracteur’’ illustre la théorie du chaos, et son lien avec les mouvements de l’atmosphère conduira Lorenz à demander si un battement d’aile de papillon au Brésil peut provoquer une tornade au Texas. Or, une fois revisité par Michel Hénon, l’attracteur de Lorenz, ou plutôt un de ses cousins mathématiques, apparaît au sein des objets étudiés par Cremona. 

  
Simultanément, mais à Moscou, Yuri Manin s’attaque à un problème d’arithmétique lui-même en lien avec les travaux de Cremona. 

  
Géométrie, arithmétique et dynamique offrent alors trois regards croisés sur le même type d’objets : c’est cette multiplicité des points de vue qui sera le fil directeur de l’exposé.