Dans cet article, on montre que le problème de Minkowski admet une solution dans les $3$-variétés hyperboliques lorsque l'on prescrit une courbure comprise entre $-1$ et $0$. En particulier, on obtient ainsi un feuilletage par des surfaces à courbure de Gauss constante du complémentaire du cœur de Nielsen dans une variété hyperbolique. Ceci permet de réaliser toute surface à courbure constante comme bord convexe de variété hyperbolique.