Régularité optimale de type Sobolev des racines d'un polynôme
Optimal Sobolev regularity of roots of polynomials
Anglais
Nous étudions la régularité des racines d'un polynôme complexe univarié dont les coefficients varient de façon lisse. Nous montrons que tout choix continu de racines d'une $C^{n-1,1}$-courbe de polynômes unitaires de degré $n$ est localement absolument continu avec ses dérivées localement $p$-intégrables pour tout $1\le p < n/(n-1)$, uniformément par rapport aux coefficients.
Ce résultat est optimal : en général, les dérivées de racines d'une courbe lisse de polynômes unitaires de degré $n$ ne sont pas localement $n/(n-1)$-intégrables et la variation des racines peut être localement non bornée si les coefficients sont de classe $C^{n-1,\alpha}$ pour $\alpha<1$.
Nous montrons aussi une généralisation des inégalités de Glaeser d'ordre supérieur à la Ghisi et Gobbino.
Nous donnons trois applications des résultats principaux : résolution locale d'un système d'équations pseudo-différentielles, un théorème de relèvement pour les applications à valeurs dans l'espace des orbites d'une représentation d'un groupe fini et une condition suffisante pour qu'une fonction multivaluée soit de classe de Sobolev $W^{1,p}$ au sens d'Almgren.