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Formules de Feynmann-Kac pour le modèle de Nelson ultra-violet renormalisée

Feynman-Kac formulas for the ultra-violet renormalized Nelson models

Oliver MATTE, Jacob Schach MØLLER
Formules de Feynmann-Kac pour le modèle de Nelson ultra-violet renormalisée
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  • Année : 2018
  • Tome : 404
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 47D08, 60H30, 81T16, 81V99
  • Nb. de pages : iv + 150
  • ISBN : 978-2-85629-893-0
  • ISSN : 0303-1179,2492-5926

On s’intéresse à la dérivation des formules de Feynman-Kac pour l’Hamiltonien du modèle de Nelson ultra-violet renormalisée avec potentiel Kato-décomposable, et pour les fibré Hamiltoniens correspondants dans le cas de l’invariance par translation. On traite simultanément des bosons lourds et sans masse. On présente également une construction non perturbative de l’Hamiltonien de Nelson renormalisée dans une représentation de non-Fock, définie comme étant le générateur du semi-groupe de Feyman-Kac associé. La nouvelle approche de l’analyse des valeurs moyennes associées au vide des intégrandes de Feynman-Kac montre que, en l’absence de potentiel externe et dans le cas où le principe de Pauli est ignoré, le spectre de l’Hamiltonien du modèle de Nelson avec N particules est minoré par une constante négative universelle multipliée par g4N3, pour n’importe quelle valeur de la constante de couplage g. Un argument variationnel permet également d’obtenir une majoration faisant intervenir une quantité analogue, pour de grandes valeurs de g2N. On vérifie de plus que le semi-groupe généré par l’Hamiltonien du modèle de Nelson ultra-violet renormalisée améliore la positivité par rapport à un cône auto-dual naturel, pourvu que le principe de Pauli est exclu. Une partie de l’étude s’intéresse également aux propriétés de continuité des éléments de l’image du semi-groupe associé à l’Hamiltonien de Nelson renormalisée.

 

We derive Feynman-Kac formulas for the ultra-violet renormalized Nelson Hamiltonian with a Kato decomposable external potential and for corre- sponding fiber Hamiltonians in the translation invariant case. We simultaneously treat massive and massless bosons. Furthermore, we present a non-perturbative construction of a renormalized Nelson Hamiltonian in a non-Fock representation defined as the generator of a corresponding Feynman-Kac semi-group. Our novel analysis of the vacuum expectation of the Feynman-Kac integrands shows that, if the external potential and the Pauli-principle are dropped, then the spectrum of the N-particle renormalized Nelson Hamiltonian is bounded from below by some negative universal constant times g4N3, for all values of the coupling constant g. A variational argument also yields an upper bound of the same form for large g2N. We further verify that the semi-groups generated by the ultra-violet renormalized Nelson Hamiltonian and its non-Fock version are positivity improving with respect to a natural self-dual cone, if the Pauli principle is ignored. In another application we discuss continuity properties of elements in the range of the semi-group of the renormalized Nelson Hamiltonian.

Nelson model, Feynman-Kac formula, renormalization, non-Fock representation, Perron-Frobenius arguments
elson model, Feynman-Kac formula, renormalization, non-Fock representation, Perron-Frobenius arguments
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