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Régularité optimale de type Sobolev des racines d'un polynôme

Optimal Sobolev regularity of roots of polynomials

Adam PARUSINSKI, Armin RAINER
Régularité optimale de type Sobolev des racines d'un polynôme
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  • Année : 2018
  • Fascicule : 5
  • Tome : 51
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 26C10, 26A46, 26D10, 30C15, 46E35
  • Pages : 1343-1387
  • DOI : 10.24033/asens.2376

Nous étudions la régularité des racines d'un polynôme complexe univarié dont les coefficients varient de façon lisse. Nous montrons que tout choix continu de racines d'une $C^{n-1,1}$-courbe de polynômes unitaires de degré $n$ est localement absolument continu avec ses dérivées localement $p$-intégrables pour tout $1\le p < n/(n-1)$, uniformément par rapport aux coefficients.
  Ce résultat est optimal : en général, les dérivées de racines d'une courbe lisse de polynômes unitaires de degré $n$ ne sont pas localement $n/(n-1)$-intégrables et   la variation des racines peut être localement non bornée si les coefficients sont de classe $C^{n-1,\alpha}$ pour $\alpha<1$.
  Nous montrons aussi une généralisation des inégalités de Glaeser d'ordre supérieur à la Ghisi et Gobbino.
  Nous donnons trois applications des résultats principaux : résolution locale d'un système d'équations pseudo-différentielles, un théorème de relèvement pour les applications à valeurs dans l'espace des orbites d'une représentation d'un groupe fini et une condition suffisante pour qu'une fonction multivaluée soit de classe de Sobolev $W^{1,p}$ au sens d'Almgren.

We study the regularity of the roots of complex univariate polynomials   whose coefficients depend smoothly on parameters.
  We show that any  continuous choice of a root of a $C^{n-1,1}$-curve of monic polynomials of degree $n$ is locally absolutely continuous with locally $p$-integrable derivatives for every $1 \le p < n/(n-1)$, uniformly with respect to the coefficients.
  This result is optimal: in general, the derivatives of the roots of a smooth curve of monic polynomials of degree $n$ are not locally $n/(n-1)$-integrable, and the roots may have locally unbounded variation if the coefficients are only of class $C^{n-1,\alpha}$ for $\alpha <1$.    We also prove a generalization of Ghisi and Gobbino's higher order Glaeser inequalities. We give three applications of the main results: local solvability of a system of pseudo-differential equations, a lifting theorem for mappings into orbit spaces of finite
  group representations, and a sufficient condition for multi-valued functions to be of Sobolev class $W^{1,p}$ in the sense of Almgren. 

Perturbations des polynômes complexes, continuité absolue des racines, régularité optimale des racines dans les espaces de Sobolev$W^{1,p}$, inégalités de Glaeser d'ordre supérieur
Perturbation of complex polynomials, absolute continuity of roots, optimal regularity of the roots among Sobolev spaces $W^{1,p}$, higher order Glaeser inequalities
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