Régularité optimale de type Sobolev des racines d'un polynôme
Optimal Sobolev regularity of roots of polynomials

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- Année : 2018
- Fascicule : 5
- Tome : 51
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 26C10, 26A46, 26D10, 30C15, 46E35
- Pages : 1343-1387
- DOI : 10.24033/asens.2376
Nous étudions la régularité des racines d'un polynôme complexe univarié dont les coefficients varient de façon lisse. Nous montrons que tout choix continu de racines d'une $C^{n-1,1}$-courbe de polynômes unitaires de degré $n$ est localement absolument continu avec ses dérivées localement $p$-intégrables pour tout $1\le p < n/(n-1)$, uniformément par rapport aux coefficients.
Ce résultat est optimal : en général, les dérivées de racines d'une courbe lisse de polynômes unitaires de degré $n$ ne sont pas localement $n/(n-1)$-intégrables et la variation des racines peut être localement non bornée si les coefficients sont de classe $C^{n-1,\alpha}$ pour $\alpha<1$.
Nous montrons aussi une généralisation des inégalités de Glaeser d'ordre supérieur à la Ghisi et Gobbino.
Nous donnons trois applications des résultats principaux : résolution locale d'un système d'équations pseudo-différentielles, un théorème de relèvement pour les applications à valeurs dans l'espace des orbites d'une représentation d'un groupe fini et une condition suffisante pour qu'une fonction multivaluée soit de classe de Sobolev $W^{1,p}$ au sens d'Almgren.