Nous étudions la régularité des racines d'un polynôme complexe univarié dont les coefficients varient de façon lisse. Nous montrons que tout choix continu de racines d'une $C^{n-1,1}$-courbe de polynômes unitaires de degré $n$ est localement absolument continu avec ses dérivées localement $p$-intégrables pour tout $1\le p < n/(n-1)$, uniformément par rapport aux coefficients.
Ce résultat est optimal : en général, les dérivées de racines d'une courbe lisse de polynômes unitaires de degré $n$ ne sont pas localement $n/(n-1)$-intégrables et   la variation des racines peut être localement non bornée si les coefficients sont de classe $C^{n-1,\alpha}$ pour $\alpha<1$.
Nous montrons aussi une généralisation des inégalités de Glaeser d'ordre supérieur à la Ghisi et Gobbino.
Nous donnons trois applications des résultats principaux : résolution locale d'un système d'équations pseudo-différentielles, un théorème de relèvement pour les applications à valeurs dans l'espace des orbites d'une représentation d'un groupe fini et une condition suffisante pour qu'une fonction multivaluée soit de classe de Sobolev $W^{1,p}$ au sens d'Almgren.