Estimations précises pour les opérateurs de collision de Boltzmann et de Landau
Sharp bounds for Boltzmann and Landau collision operators
Anglais
L'objectif de ce travail est de fournir une méthode robuste pour obtenir des estimations précises pour les opérateurs de Boltzmann et de Landau dans des espaces de Sobolev à poids et des espaces anisotropes. Les résultats et leur démonstration font ressortir les innovations suivantes:
Toutes les estimations précises concernent les opérateurs originaux de Boltzmann et de Landau. Le mot `précis' se réfère au fait que les estimations sont cohérentes avec le comportement des opérateurs linéarisés correspondants. Ceci est utile pour étudier le caractère bien posé des équations originales.
En accord avec la formule de Bobylev, on introduit deux types de décomposition dyadique, dans l'espace des phases et dans celui des fréquences, afin d'utiliser au maximum les annulations. Cela nous permet de voir clairement quelle partie de l'opérateur se comporte comme un opérateur de type Laplacien, et quelle partie est dominée par la structure anisotrope.
En se basant sur la structure géométrique des collisions élastiques, on fait une décomposition géométrique pour capturer la structure anisotrope de l'opérateur de collision. Plus précisément, on explicite le fait que l'opérateur de Laplace-Beltrami apparait bien dans l'opérateur de collision. Cela nous permet d'obtenir des estimations précises dans des espaces anisotropes et de finaliser les estimations sur la dissipation d'entropie.
Les structures mentionnées ci-dessus sont si robustes qu'on peut les retrouver dans la limite des collisions rasantes. On obtient ainsi des estimations précises pour le noyau de collision de Landau en passant à la limite. On remarque que la présente analyse éclaire le passage à la limite de l'équation de Boltzmann vers celle de Landau.