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Obstruction à la contrôlabilité locale en temps petit pour une équation de Burgers visqueuse

An obstruction to small-time local null controllability for a viscous Burgers' equation

Frédéric MARBACH
Obstruction à la contrôlabilité locale en temps petit pour une équation de Burgers visqueuse
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  • Année : 2018
  • Fascicule : 5
  • Tome : 51
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 93B05, 93C20, 47G10
  • Pages : 1129-1177
  • DOI : 10.24033/asens.2373

Nous nous intéressons à la contrôlabilité locale en temps petit pour
l'équation de Burgers visqueuse $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$, posée sur
un segment, avec des conditions de Dirichlet nulles au bord. Le
terme source au second membre est un contrôle scalaire qui joue un rôle
similaire à celui d'une pression. Dans ce contexte, la condition de crochet
de Lie nécessaire classique introduite par Sussmann ne permet pas de conclure.
Cependant, en utilisant un développement à l'ordre deux du système étudié, nous
mettons en lumière une obstruction de nature quadratique à la
contrôlabilité locale en temps petit. Cette obstruction tient alors même
que la vitesse de propagation de l'information dans cette équation de
Burgers est infinie. Elle fait intervenir la norme $H^{-5/4}$ du
contrôle. La démonstration nécessite le calcul soigneux du noyau
d'un opérateur intégral, ainsi que l'estimation d'opérateurs résiduels à
l'aide de la théorie de régularité pour les \emph{opérateurs intégraux
faiblement singuliers}.

In this work, we are interested in the small-time local null controllability
for the viscous Burgers' equation $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$ on a line
segment, with null boundary conditions. The second-hand side is a scalar
control playing a role similar to that of a pressure. In this setting, the
classical Lie bracket necessary condition introduced by Sussmann fails to
conclude. However, using a quadratic expansion of our system, we exhibit a
second order obstruction to small-time local null controllability. This
obstruction holds although the information propagation speed is infinite for
the Burgers equation. Our obstruction involves the $H^{-5/4}$ norm of the
control. The proof requires the careful derivation of an integral kernel
operator and the estimation of residues by means of \emph{weakly singular
integral operator} estimates.

Burgers, contrôlabilité, obstruction quadratique, opérateur intégral faiblement singulier
Burgers, controllability, quadratic obstruction, weakly singular integral operator
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