Nous nous intéressons à la contrôlabilité locale en temps petit pour l'équation de Burgers visqueuse $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$, posée sur un segment, avec des conditions de Dirichlet nulles au bord. Le terme source au second membre est un contrôle scalaire qui joue un rôle similaire à celui d'une pression. Dans ce contexte, la condition de crochet de Lie nécessaire classique introduite par Sussmann ne permet pas de conclure. Cependant, en utilisant un développement à l'ordre deux du système étudié, nous mettons en lumière une obstruction de nature quadratique à la contrôlabilité locale en temps petit. Cette obstruction tient alors même que la vitesse de propagation de l'information dans cette équation de Burgers est infinie. Elle fait intervenir la norme $H^{-5/4}$ du contrôle. La démonstration nécessite le calcul soigneux du noyau d'un opérateur intégral, ainsi que l'estimation d'opérateurs résiduels à l'aide de la théorie de régularité pour les opérateurs intégraux faiblement singuliers.