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Les relations d'Eichler-Shimura et la semi-simplicité de la cohomologie étale des variétés de Shimura quaternioniques

Eichler-Shimura relations and semisimplicity of etale cohomology of quaternionic Shimura varieties

Jan NEKOVAR
Les relations d'Eichler-Shimura et la semi-simplicité de la cohomologie étale des variétés de Shimura quaternioniques
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  • Année : 2018
  • Fascicule : 5
  • Tome : 51
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G18, 11F41, 11F80, 14F20
  • Pages : 1179-1252
  • DOI : 10.24033/asens.2374

On montre que l'action galoisienne sur la partie sans
multiplication complexe de la cohomologie étale d'un faisceau $\ell$-adique
lisse automorphe sur une variété de Shimura quaternionique compacte est
semi-simple. Si le poids du faisceau s'écrit $k = (k_1,\ldots,k_d)$, où
les $k_i$ ont la même parité, toute la cohomologie étale est semi-simple.
Les mêmes résultats sont montrés pour la cohomologie d'intersection
$\ell$-adique de la compactification de Baily-Borel des variétés modulaires
de Hilbert. La preuve utilise un critère abstrait de semi-simplicité et
les relations d'Eichler-Shimura pour les morphismes de Frobenius partiels.

We show that the non CM part of $\ell$-adic étale cohomology
of any compact quaternionic Shimura variety with coefficients in any
automorphic local system is a semisimple Galois representation. If the local
system has weight $k = (k_1,\ldots,k_d)$ with all $k_i$ of the same parity,
the full $\ell$-adic étale cohomology is semisimple. For Hilbert modular
varieties, analogous results are proved for $\ell$-adic intersection
cohomology of the Baily-Borel compactification. The proof combines a
representation-theoretical criterion of semisimplicity with Eichler-Shimura
relations for partial Frobenius morphisms.

Cohomologie $l$-adique, variétés de Shimura, représentations galoisiennes, semi-simplicité
$l$-adic cohomology, Shimura varieties, Galois representations, semisimplicity
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