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Abundance of non-uniformly hyperbolic Hénon-like endomorphisms

Abundance of non-uniformly hyperbolic Hénon-like endomorphisms

Pierre BERGER
Abundance of non-uniformly hyperbolic Hénon-like endomorphisms
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  • Année : 2019
  • Tome : 410
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37D20, 37D25, 37D45, 37C40, 37E30
  • Pages : 53-177

Pour toute petite $C^2$ function $B$, nous prouvons que pour un ensemble de paramètres $a$ de mesure de Lebesgue positive, l'application $(x,y)\mapsto (x^2+a,0)+B(x,y,a)$ pr\'eserve une mesure de probabilité qui est physique et SRB. Quand l'application $B$ est nulle, il s'agit du théorème de Jakobson ; quand la perturbation est égale à une petite constante fois $(0,x)$, on obtient le célèbre théorème de Benedicks-Carleson.

Nous donnons en particulier une nouvelle preuve de ce dernier théorème, basée sur le formalisme combinatoire des pièces de puzzle de Yoccoz. En ajutant de nouveaux ingrédiants géométriques et combinatoires, et en restructurant des idées analytiques classiques, nous arrivons à prouver notre résultat en topologie $C^2$, et cela, même quand la dynamique est un endomorphisme.
 

For every $C^2$ function $B$, we prove that the map $(x,y)\mapsto$\break $(x^2+a,0)+B(x,y,a)$ leaves invariant a physical, SRB probability measure, for a set of parameters $a$ of positive Lebesgue measure. 
When the perturbation $B$ is zero, this is the Jakobson Theorem; when the perturbation is a small constant times $(0,x)$, this is the celebrated Benedicks-Carleson theorem.

In particular, a new proof of the last theorem is given, based on a development of the combinatorial formalism of  the Yoccoz puzzles. By adding new geometrical and combinatorial ingredients, and restructuring classic analytical ideas,  we are able to carry out our proof in the $C^2$-topology, even when the underlying dynamics are given by endomorphisms.

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