Nous étudions la stabilité des approximations métriques de groupes dénombrables relativement à des groupes munis d'ultramétriques, le cas d'étude principal étant un analogue p-adique de la stabilité d'Ulam, où nous prenons $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}_p)$ comme groupes approximants au lieu de $\mathrm{U}(n)$. Pour les groupes de présentation finie, la nature ultramétrique implique l'équivalence des problèmes de stabilité ponctuelle et uniforme, et le caractère profini implique que la propriété d'approximation correspondante est équivalente à la finitude résiduelle. De plus, un groupe est uniformément stable si et seulement si son plus grand quotient résiduellement fini l'est. Nous fournissons plusieurs exemples de groupes uniformément stables, y inclus les groupes finis, les groupes virtuellement libres, certains groupes agissant sur des arbres enracinés, ainsi que certains groupes lamplighter et groupes de Baumslag-Solitar (généralisés). Nous construisons un groupe de type fini qui n'est pas uniformément stable. Enfin, nous démontrons et appliquons un critère cohomologique (borné) pour la stabilité d'un groupe de présentation finie.