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Crochets dans les algèbres de Pontryagin des variétés

Brackets in the Pontryagin Algebras of Manifolds

Gwénaël Massuyeau, Vladimir Turaev
Crochets dans les algèbres de Pontryagin des variétés
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  • Année : 2017
  • Tome : 154
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 17B63, 55N33, 55P50, 57R19
  • Nb. de pages : 138
  • ISBN : 978-2-85629-876-3
  • ISSN : 0249-633-X (print) 2275-3230 (electronic)
  • DOI : 10.24033/msmf.462

Un objet géométrique fondamental qu'on associe à tout espace topologique $M$ avec un point marqué $\star $ est son espace de lacets basés en $\star $. L'algèbre de Pontryagin $A$ de $(M,\star )$ est l'homologie singulière de cet espace de lacets, avec sa structure d'algèbre graduée induite par la multiplication usuelle des lacets. Lorsque $M$ est une variété orientée lisse à bord et $\star $ est choisi sur $\partial M$, nous définissons une opération “d'intersection” $A\otimes A \to A\otimes A$. Nous prouvons que cette opération est un crochet double au sens de Michel Van den Bergh satisfaisant une variante de l'identité de Jacobi. Nous montrons que ce crochet double induit des crochets de Grstenhaber sur les algèbres de représentations de $A$. Ceci étend notre précédent travail sur les surfaces, où $A$ est l'algèbre de groupe du groupe fondamental d'une surface et les crochets de Gerstenhaber en question sont les crochets de Poisson habituels sur les espaces de modules de représentations d'un tel groupe. Le présent travail est inspiré des résultats de William Goldman sur les surfaces, et des idées de la topologie des cordes due à Moira Chas et Dennis Sullivan.

A fundamental geometric object derived from an arbitrary topological space $M$ with a marked point $\star $ is the space of loops in $M$ based at $\star $. The Pontryagin algebra $A$ of $(M,\star )$ is the singular homology of this loop space with the graded algebra structure induced by the standard multiplication of loops. When $M$ is a smooth oriented manifold with boundary and $\star $ is chosen on $\partial M$, we define an “intersection” operation $A\otimes A \to A\otimes A$. We prove that this operation is a double bracket in the sense of Michel Van den Bergh satisfying a version of the Jacobi identity. We show that our double bracket induces Gerstenhaber brackets in the representation algebras of $A$. These results extend our previous work on surfaces, where $A$ is the group algebra of the fundamental group of a surface and the Gerstenhaber brackets in question are the usual Poisson brackets on the moduli spaces of representations of such a group. The present work is inspired by the results of William Goldman on surfaces and by the ideas of string topology due to Moira Chas and Dennis Sullivan.

Smooth manifold, intersection pairing, string topology, loop space, Pontryagin algebra, Poisson bracket, Gerstenhaber bracket, noncommutative Poisson structure, double bracket
Smooth manifold, intersection pairing, string topology, loop space, Pontryagin algebra, Poisson bracket, Gerstenhaber bracket, noncommutative Poisson structure, double bracket
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