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Éstimations Sobolev pour les ondes de gravité en dimension deux

Sobolev estimates for two dimensional gravity water waves

Thomas Alazard, Jean-Marc Delort
Éstimations Sobolev pour les ondes de gravité en dimension deux
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  • Année : 2015
  • Tome : 374
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B40, 35S50, 35Q35
  • Nb. de pages : viii+241
  • ISBN : 978-2-85629-821-3
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.974
Le but de ce volume est d'appliquer une méthode de formes normales à l'estimation des normes Sobolev des solutions de l'équation des ondes de surface avec gravité. Nous éliminons, par un changement de variables paradifférentiel sans perte de dérivées, les termes quadratiques de la nonlinéarité qui pourraient générer une croissance de l'inégalité d'énergie Sobolev. Notre approche est purement Eulérienne, basée sur la formulation de Craig-Sulem-Zakharov des ondes de gravité. Outre ces estimations Sobolev, nous prouvons également des bornes $L^2$ pour l'action de $\partial _x^\alpha Z^\beta $ sur les solutions de l'équation, $Z$ désignant le champ de Klainerman $t\partial _x + 2x\partial _t$. Ces inégalités sont utilisées dans l'article [?]. Dans cette référence, nous prouvons un résultat d'existence globale pour l'équation des ondes de gravité à données de Cauchy petites, régulières, décroissantes à l'infini, et nous obtenons une description asymptotique dans l'espace physique de la solution, qui montre qu'il y a diffusion modifiée. La démonstration de ce résultat d'existence globale repose sur une méthode d'induction simultanée, pour des estimations a priori portant sur des normes Hölder ou Sobolev de la solution de l'équation, sur laquelle agissent des itérés de champs de Klainerman. Le présent volume est consacré à l'obtention du volet Sobolev de ces estimations.
Our goal in this volume is to apply a normal forms method to estimate the Sobolev norms of the solutions of the water waves equation. We construct a paradifferential change of unknown, without derivatives losses, which eliminates the part of the quadratic terms that bring non zero contributions in a Sobolev energy inequality. Our approach is purely Eulerian : we work on the Craig-Sulem-Zakharov formulation of the water waves equation. In addition to these Sobolev estimates, we also prove $L^2$-estimates for the $\partial _x^\alpha Z^\beta $-derivatives of the solutions of the water waves equation, where $Z$ is the Klainerman vector field $t\partial _t +2x\partial _x$. These estimates are used in the paper [?]. In that reference, we prove a global existence result for the water waves equation with smooth, small, and decaying at infinity Cauchy data, and we obtain an asymptotic description in physical coordinates of the solution, which shows that modified scattering holds. The proof of this global in time existence result relies on the simultaneous bootstrap of some Hölder and Sobolev a priori estimates for the action of iterated Klainerman vector fields on the solutions of the water waves equation. The present volume contains the proof of the Sobolev part of that bootstrap.
Équation d'Euler à surface libre, méthode de formes normales, calcul paradifférentiel, champ de Klainerman
Prix
Adhérent 35 €
Non-Adhérent 50 €
Quantité
- +