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Exposé Bourbaki 1195 : La conjecture du $K(\pi,1)$ pour les groupes d'Artin affines d'après Giovanni Paolini et Mario Salvetti

Exposé Bourbaki 1195 : The $K(\pi,1)$ conjecture for affine Artin groups (after Giovanni Paolini and Mario Salvetti)

Thomas HAETTEL
Exposé Bourbaki 1195 : La conjecture du $K(\pi,1)$ pour les groupes d'Artin affines d'après Giovanni Paolini et Mario Salvetti
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  • Année : 2022
  • Tome : 438
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20F36, 20F55, 55P20
  • Pages : 495-546
  • DOI : 10.24033/ast.1196

Considérons un groupe de Coxeter $W$ affine, agissant par isométries sur l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$, ainsi que l'arrangement des hyperplans de ses réflexions. Le complémentaire $Y_W$ du complexifié de cet arrangement dans $\mathbb{C}^n$, quotienté par $W$, a pour groupe fondamental le groupe d'Artin affine $G_W$ associé à $W$. La conjecture du $K(\pi,1)$ affirme dans ce cas que l'espace $Y_W$ est un espace classifiant pour $G_W$. Elle a été démontrée récemment par Paolini et Salvetti, en s'appuyant sur les travaux de McCammond et Sulway. Nous présenterons des ingrédients de la preuve, qui repose notamment sur l'étude des structures de Garside duales pour les groupes d'Artin affines, les factorisations des isométries euclidiennes et la décortiquabilité des partitions non croisées affines. Une conséquence est que les groupes d'Artin affines, ainsi que les groupes crystallographiques tressés, ont un espace classifiant fini.

Consider an affine Coxeter group $W$ acting by isometries on the Euclidean space $\mathbb{R}^n$, and the arrangement of its reflection hyperplanes. The fundamental group of the complement $Y_W$ of the complexification of this arrangement in $\mathbb{C}^n$ mod out by $W$ is the affine Artin group $G_W$ associated with $W$. The $K(\pi,1)$ conjecture states that $Y_W$ is a classifying space for $G_W$. It has been recently proved by Paolini and Salvetti building on the works of McCammond and Sulway. We will present some ingredients of the proof that rests on the study of dual Garside structures for affine Artin groups, the factorisations of Euclidean isometries, and the shellability of noncrossing partitions. One consequence is that affine Artin groups, as well as braided crystallographic groups, have a finite classifying space.

Conjecture du $K(\pi,1)$, arrangements d'hyperplans, groupes de Coxeter affines, groupes d'Artin, structures de Garside, décortiquabilité d'ensembles ordonnés
$K(\pi,1)$ conjecture, arrangements of hyperplanes, affine Coxeter groups, Artin groups, Garside structures, shellability of posets

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