Le théorème de Ramsey stipule que si $N$ est suffisamment grand, alors quelle que soit la manière dont l'on colore les arêtes entre $N$ sommets avec deux couleurs, il y a toujours $k$ sommets dont les arêtes ne sont colorées que d'une seule couleur. Compte tenu de ce théorème, il est naturel de se demander "À quel point $N$ doit être grand ?" La preuve originale de Ramsey a montré que $N=k!$ suffit, et cinq ans plus tard, Erdős et Szekeres ont amélioré cette borne à $N=4^k$. Puis le progrès s'est arrêté pendant près de 90 ans.

Dans cet exposé, je présente l'histoire du problème et je discute certaines idées utilisées dans la percée récente de Campos--Griffiths-Morris--Sahasrabudhe, qui ont prouvé que $N=3,993^k$ suffit. De plus, je discute le travail suivant de Balister, Bollobás, Campos, Griffiths, Hurley, Morris, Sahasrabudhe, et Tiba, qui ont donné une preuve alternative et plus conceptuelle.