Pour des compositions aléatoires de cartes mesurables indépendantes et identiquement distribuées sur un espace polonais, nous étudions l'existence et la finitude de mesures de probabilité stationnaires ergodiques absolument continues (qui sont, en particulier, des mesures physiques) dont les bassins d'attraction couvrent presque partout tout l'espace. Nous caractérisons et hiérarchisons ces cartes aléatoires en fonction de leurs opérateurs de Markov associés, et montrons la différence entre les classes dans la hiérarchie par de nombreux exemples, y compris le bruit additif, le bruit multiplicatif et les systèmes de fonctions itérées. Nous fournissons également des conditions pratiques suffisantes pour qu'une carte aléatoire appartienne à ces classes. Par exemple, nous établissons que toute application aléatoire continue sur une variété riemannienne compacte avec probabilité de transition absolument continue admet un nombre fini de mesures physiques dont les bassins d'attraction recouvrent la variété presque partout au sens de Lebesgue.