Dans les années 2000, Labourie a commencé l'étude des propriétés dynamiques de l'espace des $k$-surfaces, c'est-à-dire des surfaces complètes à courbure extrinsèque constante dans les $3$-variétés à courbure négative, qu'il présente comme des analogues du flot géodésique en dimension supérieure. Dans cet article, en suivant les travaux récents de Calegari-Marques-Neves, nous étudions le comptage asymptotique de sous-groupes de surfaces selon l'aire des $k$-surfaces qui les représentent. Nous établissons une borne inférieure, et prouvons un résultat de rigidité lorsque le minimum est atteint. Notre travail se distingue de celui de Calegari-Marques-Neves en deux aspects. Premièrement, nous considérons tous les sous-groupes quasi-fuchsiens et non pas uniquement ceux qui sont asymptotiquement fuchsiens. Deuxièmement, leur preuve de la rigidité ne s'applique pas dans notre cadre et nous suivons une autre approche. Nous établissons la rigidité en résolvant un problème de Plateau feuilleté général dans les variétés de Cartan-Hadamard. Pour ce faire, nous nous basons sur la théorie dynamique des k-surfaces développée par Labourie, et proposons quelques nouvelles constructions, conjectures et questions.