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Groupes quantiques et cohomologie quantique

Quantum Groups and Quantum Cohomology

Davesh MAULIK, Andrei OKUNKOV
Groupes quantiques et cohomologie quantique
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  • Année : 2019
  • Tome : 408
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 17B37, 14N35
  • Nb. de pages : x+212
  • ISBN : 978-2-85629-900-5
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1074

Dans cet article, nous étudions la cohomologie équivariante classique et quantique des variétés carquois de Nakajima pour un carquois général $Q$. Utilisant un formalisme de $R$-matrice géométrique, nous construisons une algèbre de Hopf $\mathbf Y_Q$, le Yangian de $Q$, agissant sur la cohomologie de ces variétés, et démontrons plusieurs résultats sur leur structure. Nous prouvons une formule pour la multiplication quantique des diviseurs en termes de l’action du Yangian. La connexion quantique peut être identifiée avec la connexion trigonométrique de Casimir pour $\mathbf Y_Q$; de façon équivalente, les opérateurs de diviseurs correspondent à certains éléments des sous-algèbres de Baxter de $\mathbf Y_Q$. Un rôle clé est joué par les opérateurs de décalage géométriques qui peuvent être identifiées à la connexion KZ aux différences.
Dans une seconde partie, nous donnons un exemple détaillé de la théorie générale des espaces de modules de faisceaux de $\mathbb C^2$ trivialisés à l’infini. Dans ce cadre, l’action du Yangian est analysée explicitement en termes d’une réalisation par champs libres ; la $R$-matrice correspondante est intimement reliée à l’opérateur de réflexion en théorie de Liouville des champs. Nous démontrons que les opérateurs de diviseurs génèrent l’anneau quantique, qui peut être identifié avec les algèbres de Baxter pleines. Comme corollaire de notre construction, nous obtenons une action de la W-algèbre $\mathcal W\big(\mathfrak{gl}(r)\big)$ sur la cohomologie équivariante des espaces de module de rang $r$ ; ceci implique certaines conjectures de Alday, Gaiotto, et Tachikawa.

In this paper, we study the classical and quantum equivariant cohomology of Nakajima quiver varieties for a general quiver $Q$.  Using a geometric $R$-matrix formalism, we construct a Hopf algebra $\mathbf Y_Q$, the Yangian of $Q$, acting on the cohomology of these varieties, and show several results about their basic structure theory.  We prove a formula for quantum multiplication by divisors in terms of this Yangian action.  The quantum connection can be identified with the trigonometric Casimir connection for $\mathbf Y_Q$; equivalently, the divisor operators correspond to certain elements of Baxter subalgebras of $\mathbf Y_Q$.  A key role is played by geometric shift operators which can be identified with the quantum KZ difference connection.

In the second part, we give an extended example of the general theory for moduli spaces of sheaves on $\mathbb C^2$, framed at infinity.  Here, the Yangian action is analyzed explicitly in terms of a free field realization; the corresponding $R$-matrix is closely related to the reflection operator in Liouville field theory.  We show that divisor operators generate the quantum ring, which is identified with the full Baxter subalgebras.  As a corollary of our construction, we obtain an action of the W-algebra $\mathcal W\big(\mathfrak{gl}(r)\big)$ on the equivariant cohomology of rank $r$ moduli spaces, which implies certain conjectures of Alday, Gaiotto, and Tachikawa.

Variétés carquois, groupes quantiques, cohomologie quantique, W-algèbres.
Quiver varieties, Quantum groups, Quantum cohomology, W-algebras
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