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Homologie de Hochschild-Pirashvili sur les suspensions et représentations de $\mathrm{Out}(F_n)$

Hochschild-Pirashvili homology on suspensions and representations of $\mathrm{Out}(F_n)$

Victor TURCHIN, Thomas WILLMACHER
Homologie de Hochschild-Pirashvili sur les suspensions et représentations de $\mathrm{Out}(F_n)$
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  • Année : 2019
  • Fascicule : 3
  • Tome : 52
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 55N99, 19D55, 13D03, 20C10
  • Pages : 761-795
  • DOI : 10.24033/asens.2396

On montre que l'homologie de Hochschild-Pirashvili sur toute suspension admet une certaine décomposition de Hodge. Pour toute application entre suspensions $f\colon \Sigma Y\to \Sigma Z$, l'application induite en homologie de Hochschild-Pirashvili préserve cette décomposition si $f$ est une suspension. Dans le cas contraire, on montre que la décomposition est préservée uniquement en tant que filtration. Dans le cas particulier  d'un bouquet de cercles, l'homologie de Hochschild-Pirashvili produit de nouvelles représentations de $Out(F_n)$  qui ne se factorisent pas en général par $GL(n,Z)$. Les représentations ainsi obtenues sont naturellement filtrées de façon à ce que l'action sur les quotients gradués se factorise par $GL(n,Z)$.

We show that the Hochschild-Pirashvili homology on any suspension admits the so called Hodge splitting. For a map between suspensions $f\colon \Sigma Y\to \Sigma Z$, the induced map in the Hochschild-Pirashvili homology preserves this splitting if $f$ is a suspension. If $f$ is not a suspension, we show that the splitting is preserved only as a filtration.   
As a special case, we obtain that the  Hochschild-Pirashvili homology on wedges of circles produces new representations  of $Out(F_n)$ that do not factor in general through $GL(n,Z)$. The obtained representations are naturally filtered in such a way that the  action on  the graded quotients  does factor through $GL(n,Z)$.

Homologie de Hochschild supérieure, décomposition de Hodge, groupe d'automorphismes extérieurs d'un groupe libre, filtration de Poincaré-Birkhoff-Witt, dualité de Koszul commutative-Lie
Higher Hochschild homology, Hodge decomposition, outer automorphism group of a free group, Poincaré-Birkhoff-Witt filtration, commutative-Lie Koszul duality
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