SMF

Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers

Incompressibility of leaves of singular holomorphic foliation germs

David MARIN, Jean-François MATTEI
Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers
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  • Année : 2008
  • Fascicule : 6
  • Tome : 41
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 32M25, 32S55, 32S65, 34M20, 34M35, 34M45, 37F75, 57M05, 57M25, 57M27
  • Pages : 855-903
  • DOI : doi.org/10.24033/asens.2083

Nous considérons un germe de feuilletage holomorphe singulier non-dicritique $\mathcal{F}$ défini sur une boule fermée $\overline{\mathbb{B}}\subset \mathbb{C}^{2}$, satisfaisant des hypothèses génériques, de courbe de séparatrice $S$. Nous démontrons l'existence d'un voisinage ouvert $U$ de $S$ dans $\overline{\mathbb{B}}$ tel que, pour toute feuille $L$ de $\mathcal{F}_{|(U\setminus S)}$, l'inclusion naturelle $\imath: L\hookrightarrow U\setminus S$ induit un monomorphisme $\imath_*:\pi_1(L)\hookrightarrow\pi_1(U\setminus S)$ au niveau du groupe fondamental. Pour cela, nous introduisons la notion géométrique de « connexité feuilletée » avec laquelle nous réinterprétons la notion d'incompressibilité. Nous montrons aussi l'existence de sections holomorphes transverses satisfaisant la propriété de connexité feuilletée; elles nous permettent d'introduire une notion de « représentation de monodromie globale » du feuilletage.

We consider a non-dicritic germ of singular holomorphic  foliation $\mathcal{F}$  defined in some closed ball ${\overline{\mathbb{B}}\subset\mathbb{C}^{2}}$ with separatrix set $S$, satisfying some additional but generic hypotheses. We prove that there exists an open subset $U\supset S$ of $\mathbb{B}$, such that for every leaf $L$ of $\mathcal{F}_{|(U\setminus S)}$ the natural inclusion $\imath: L\hookrightarrow U\setminus S$ induces a monomorphism $\imath_*:\pi_1( L)\hookrightarrow\pi_1(U\setminus S)$ at the fundamental group level. To do this, we introduce the geometrical notion of "foliated connexity'' and we re-interpret the incompressibility using it. We also show the existence of some special transverse holomorphic sections, which allow us to introduce a "global monodromy representation'' for the foliation.

Équations différentielles ordinaires, systèmes dynamiques, feuilletages holomorphes, champs de vecteurs, variétés de dimension trois, topologie de petite dimension, groupe fondamental, singularités, monodromie
Ordinary Differential Equations, Holomorphic Foliations, Vector Fields, Dynamical Systems, 3-Manifolds, Low-dimensional Topology, Singularities, Fondamental Group, Monodromy