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Pourquoi les points périodiques des homéomorphismes du plan tournent-ils autour de certains points fixes ?

Why do periodic points of plane homeomorphisms turn around certain fixed points?

Patrice LE CALVEZ
Pourquoi les points périodiques des homéomorphismes du plan tournent-ils autour de certains points fixes ?
  • Année : 2008
  • Fascicule : 1
  • Tome : 41
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 37C25, 37E30, 37E35, 37B25, 37B30
  • Pages : 141-176
  • DOI : 10.24033/asens.2065

Soit $f$ un homéomorphisme du plan qui préserve l'orientation et qui a un point périodique $z^{*}$ de période $q\geq 2$. Nous montrons qu'il existe un point fixe $z$ tel que le nombre d'enlacement de $z^{*}$ et $z$ ne soit pas nul. En d'autres termes, le nombre de rotation de l'orbite de $z^{*}$ dans l'anneau $\mathbb R^{2}\setminus\{z\}$ est un élément non nul de $\mathbb R/\mathbb Z $. Ceci donne une réponse positive à une question posée par John Franks.

Let $f$ be an orientation-preserving homeomorphism of the euclidean plane $\mathbb R^{2}$ that has a periodic point $z^{*}$ of period $q\geq 2$. We prove the existence of a fixed point $z$ such that the linking number between $z^{*}$ and $z$ is different from zero. That means that the rotation number of $z^{*}$ in the annulus $\mathbb R^{2}\setminus\{z\}$ is a non-zero element of $\mathbb R/\mathbb Z$. This gives a positive answer to a question asked by John Franks.

Orbite périodique, homéomorphisme du plan, nombre d'enlacement, indice, feuilletage dynamiquement transverse
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