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Problème de petitesse pour les algèbres affines quantiques et les variétés carquois

Smallness problem for quantum affine algebras and quiver varieties

David HERNANDEZ
Problème de petitesse pour les algèbres affines quantiques et les variétés carquois
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  • Année : 2008
  • Fascicule : 2
  • Tome : 41
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 17B37; 14L30, 81R50, 82B23, 17B67
  • Pages : 271-306
  • DOI : 10.24033/asens.2068

La propriété géométrique de petitesse (Borho-MacPherson) des morphismes projectifs implique une description de leurs singularités en termes d'homologie d'intersection. Dans cet article nous résolvons le problème de petitesse posée par Nakajima pour certaines résolutions de variétés carquois (analogues de la résolution de Springer): pour les modules de Kirillov-Reshetikhin des algèbres affines quantiques simplement lacées, nous caractérisons explicitement les polynômes de Drinfeld correspondant aux résolutions petites. Nous utilisons un théorème d'élimination pour les monômes des $q$-caractères de Frenkel-Reshetikhin, que nous établissons pour les algèbres affines quantiques non nécessairement simplement lacées. Nous étendons le résultat principal aux affinisées quantiques générales simplement lacées, en particulier aux algèbres toroïdales quantiques (algèbres quantiques doublement affines).

The geometric small property (Borho-MacPherson) of projective morphisms implies a description of their singularities in terms of intersection homology. In this paper we solve the smallness problem raised by Nakajima for certain resolutions of quiver varieties (analogs of the Springer resolution): for Kirillov-Reshetikhin modules of simply-laced quantum affine algebras, we characterize explicitly the Drinfeld polynomials corresponding to the small resolutions. We use an elimination theorem for monomials of Frenkel-Reshetikhin $q$-characters that we establish for non necessarily simply-laced quantum affine algebras. We also extend the main result to general simply-laced quantum affinizations, in particular to quantum toroidal algebras (double affine quantum algebras).