En 1978 Durfee a conjecturé plusieurs inégalités entre la signature $\sigma $ et le genre géométrique $p_g$ d'une singularité normale de surface. Depuis, quelques contre-exemples ont été trouvés et des résultats positifs établis dans des cas particuliers. Nous montrons ici une inégalité ‘forte' de type Durfee pour toute lissification d'une singularité de Gorenstein, sous la condition que la forme d'intersection de la résolution est unimodulaire. Nous prouvons aussi l'inégalité ‘faible' pour toute singularité d'hypersurface et pour les intersections complètes strictes de multiplicité suffisamment grande. Les preuves établissent des inégalités générales valables pour toute singularité normale et numériquement Gorenstein de surface.