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La structure brownienne dans le point fixe de KPZ

Brownian structure in the KPZ fixed point

Jacob CALVERT, Alan HAMMOND and Milind HEGDE
La structure brownienne dans le point fixe de KPZ
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  • Année : 2023
  • Tome : 441
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 82C22, 82B23, 60H15
  • Nb. de pages : vi + 119
  • ISBN : 978-2-85629-973-9
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1200

On s’attend à ce que de nombreux modèles de croissance aléatoire uni-dimensionelle appartiennent à la classe d’universalité de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ). En changeant convenablement le temps d’échelle via les exposants caractéristiques de KPZ d’un tiers et de deux tiers, on considère le profil déterminé par un tel modèle. Dans la limite de temps infini, ce profil devrait converger vers le processus $\mathrm{Airy}_2$ $ \mathcal A : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ à l’addition d’une parabole près ; constatation dont la preuve est connue dans les cas de certains modèles intègrables. Ce processus peut-être identifié par la correspondance de Robinson–Schensted–Knuth à la courbe la plus haute d’un système indexé par $ \mathbb{N}$ de courbes aléatoires continue : l’ensemble de lignes d’Airy.
Parmi nos résultats principaux est l’énoncé que le processus $\mathrm{Airy}_2$ présente une grande similarité avec le mouvement brownien (de taux deux) sur un intervalle de longueur de l’ordre de l’unité. Grâce à ce résultat, nous obtenons des bornes sur les probabilités $\mathrm{Airy}_2$ d’une large classe d’évènements à partir de bornes browniennes homologues. Ce résultat a le corollaire que la dérivée de Radon–Nikodym de la loi $ \mathcal A : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sur l’intervalle $ [- 1, 1]$ par rapport à la loi brownienne sur cet intervalle appartient à tous les espaces $ L^ p$ où $ p \in(1, \infty)$. En fait, la comparaison quantitative de bornes probabilistes est également vraie pour le profil d’énergie après changement d’échelle (avec condition initiale delta Dirac) du modèle de percolation de passage dernier brownien, un modèle qui appartient à la classe d’universalité de KPZ et dans lequel l’énergie de chemins est maximisée dans un environnement aléatoire brownien.
Notre technique de preuve utilise une propriété de ré-échantillonnage probabiliste, la propriété de Gibbs brownienne, qui est satisfaite par l’ensemble parabolique de lignes d’Airy ; cet article développe l’analyse de Gibbs brownienne de cet ensemble commencée par Corwin et Hammond (2014) et poursuivie par Hammond (2019). Notre comparaison brownienne de profils après changement d’échelle est un élément du programme plus vaste de l’étude de l’universalité de KPZ par les moyens géométriques et probabilistes, facilité par l’usage, limité mais critique, des énoncés intégrables. En effet, le résultat de comparaison est un outil puissant dans l’étude de cette classe d’universalité. Nous prouvons quelques corollaires au sujet de la structure d’états quasi-minimaux dans le percolation de dernier passage brownien, ou de la structure brownienne trouvée dans les profils d’interface après changement d’échelle donnée par l’évolution d’un élément arbitraire dans une classe très large de conditions initiales.

Many models of one-dimensional local random growth are expected to lie in the Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) universality class. For such a model, the interface profile at advanced time may be viewed in scaled coordinates specified via characteristic KPZ scaling exponents of one-third and two-thirds. When the long time limit of this scaled interface is taken, it is expected - and proved for a few integrable models - that, up to a parabolic shift, the $\mathrm{Airy}_2$ process $ \mathcal{A}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is obtained. This process may be embedded via the Robinson–Schensted–Knuth correspondence as the uppermost curve in an $ \mathbb{N}$-indexed system of random continuous curves, the Airy line ensemble.

Among our principal results is the assertion that the $\mathrm{Airy}_2$ process enjoys a very strong similarity to Brownian motion $ B$ (of rate two) on unit-order intervals.  This result yields bounds on the $\mathrm{Airy}_2$ probabilities of a large class of events from the counterpart bounds on Brownian motion probabilities. The result has the consequence that the Radon–Nikodym derivative of the law of $ \mathcal{A}$ on say $ [-1,1]$ after a suitable vertical shift, with respect to the law of $ B$ on the same interval, lies in every $ L^p$ space for $ p \in (1,\infty)$.  In fact, the quantitative comparison of probability bounds we prove also holds for the scaled energy profile with Dirac delta initial condition of the model of Brownian last passage percolation, a model that lies in the KPZ universality class and in which the energy of paths in a random Brownian environment is maximized. 

Our technique of proof harnesses a probabilistic resampling or Brownian Gibbs property satisfied by the Airy line ensemble after parabolic shift, and this article develops Brownian Gibbs analysis of this ensemble begun in work of Corwin and Hammond (2014) and pursued by Hammond (2019). Our Brownian comparison for scaled interface profiles is an element in the ongoing program of studying KPZ universality via probabilistic and geometric methods of proof, aided by limited but essential use of integrable inputs. Indeed, the comparison result is a useful tool for studying this universality class. We present and prove several applications, concerning for example the structure of near ground states in Brownian last passage percolation, or Brownian structure in scaled interface profiles that arise from the evolution from any element in a  very general class of initial data.

Percolation de passage dernier brownien, multi-ligne porcessus d’Airy, ensemble de lignes d’Airy
Brownian last passage percolation, multi-line Airy process, Airy line ensemble

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