Le résultat essentiel de cet article est le suivant : soit $D$ la boule-unité ouverte de $\mathbb {C}^n$ pour une norme $\|\cdot \|$ telle que la frontière $\partial D$ de $D$ soit une sous-variété analytique réelle de $\mathbb {C}^n$. Si $f: D \to D$ est une application holomorphe telle que $f(O) = 0$, et s'il existe un ouvert $U$ non vide tel que, pour tout $z \in U$, on ait $\|f(z)\|=\|z\|$, alors $f$ est un automorphisme linéaire de $D$.