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Les frontières de Poisson des catégories monoïdales

Poisson boundaries of monoidal categories

Sergey Neshveyev, Makoto Yamashita
Les frontières de Poisson des catégories monoïdales
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  • Année : 2017
  • Tome : 50
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 18D10; 60J50, 46L50.
  • Pages : 927-972
  • DOI : 10.24033/asens.2335
Etant données une C$^*$-catégorie tensorielle rigide $\mathbb {C} $ dont l'objet unité est simple ainsi qu'une mesure de probabilité $\mu $ sur l'ensemble de es d'isomorphisme des objets simples, nous définissons la frontière de Poisson de $(\mathbb {C} , \mu )$. C'est une nouvelle C$^*$-catégorie tensorielle $\mathcal {P} $ dont l'objet unité n'est pas, en général, simple, couplée avec un foncteur unitaire tensoriel $\Pi \colon \mathbb {C} \to \mathcal {P} $. Notre résultat principal assure que si l'objet unité de $\mathcal {P} $ est simple (ce qui se traduit par une condition sur une certaine marche aléatoire ique), alors $\Pi $ est un foncteur unitaire tensoriel universel qui définit la fonction de dimension moyennable sur $\mathbb {C} $. Les corollaires de ce théorème unifient différents résultats connus sur la moyennabilité des C$^*$-catégories tensorielles, des groupes quantiques et des sous-facteurs.
Given a rigid C$^*$-tensor category $\mathbb {C} $ with simple unit and a probability measure $\mu $ on the set of isomorphism es of its simple objects, we define the Poisson boundary of $(\mathbb {C} ,\mu )$. This is a new C$^*$-tensor category $\mathcal {P} $, generally with nonsimple unit, together with a unitary tensor functor $\Pi \colon \mathbb {C} \to \mathcal {P} $. Our main result is that if $\mathcal {P} $ has simple unit (which is a condition on some ical random walk), then $\Pi $ is a universal unitary tensor functor defining the amenable dimension function on $\mathbb {C} $. Corollaries of this theorem unify various results in the literature on amenability of C$^*$-tensor categories, quantum groups, and subfactors.
Monoidal category, random walk, Poisson boundary, catégorie monoïdale, marche aléatoire, frontière de Poisson.
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