Etant données une C$^*$-catégorie tensorielle rigide $\mathbb {C}$ dont l'objet unité est simple ainsi qu'une mesure de probabilité $\mu$ sur l'ensemble de es d'isomorphisme des objets simples, nous définissons la frontière de Poisson de $(\mathbb {C} , \mu )$. C'est une nouvelle C$^*$-catégorie tensorielle $\mathcal {P}$ dont l'objet unité n'est pas, en général, simple, couplée avec un foncteur unitaire tensoriel $\Pi \colon \mathbb {C} \to \mathcal {P}$. Notre résultat principal assure que si l'objet unité de $\mathcal {P}$ est simple (ce qui se traduit par une condition sur une certaine marche aléatoire ique), alors $\Pi$ est un foncteur unitaire tensoriel universel qui définit la fonction de dimension moyennable sur $\mathbb {C}$. Les corollaires de ce théorème unifient différents résultats connus sur la moyennabilité des C$^*$-catégories tensorielles, des groupes quantiques et des sous-facteurs.