Cet article constitue une généralisation à tout groupe de Lie de la construction d'opérateurs pseudodifférentiels sur les espaces de certaines représentations unitaires, obtenue dans un précédent article pour les groupes nilpotents. Le résultat central est une formule de Weyl de comptage des valeurs propres pour les opérateurs elliptiques dans les espaces de certaines représentations unitaires irréductibles, qui apparaît comme une conséquence de la formule des caractères de Kirillov.