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Représentations cuspidales de$GL_r(D)$ distinguées par une involution intérieure

Cuspidal representations of GL(r,D) distinguished by an inner involution

Vincent SÉCHERRE
Représentations cuspidales de$GL_r(D)$ distinguées par une involution intérieure
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  • Année : 2024
  • Fascicule : 4
  • Tome : 57
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22E50
  • Pages : 961-1038
  • DOI : 10.24033/asens.2585

Soit un entier $n≥1$, soit $F$ un corps localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle $p\neq2$ et soit $G$ une forme intérieure de $GL_{2n}(F)$. C'est un groupe de la forme $GL_r(D)$ pour un entier $r≥1$ et une $F$-algèbre à division $D$ de degré réduit $d$ tel que $rd=2n$. Soit $K$ une extension quadratique de $F$ dans l'algèbre des matrices de taille $r$ à coefficients dans $D$, et soit $H$ son centralisateur dans $G$. Nous étudions les représentations cuspidales autoduales complexes de $G$ et leur distinction par $H$ du point de vue de la théorie des types. Si $\pi$ est une telle représentation et si $\phi$ est son paramètre de Langlands, nous calculons la valeur en $1/2$ du facteur epsilon de la restriction de $\phi$ au groupe de Weil-Deligne de $K$, notée $e_K(\phi)$. Lorsque $F$ est de caractéristique nulle, nous en déduisons que $\pi$ est distinguée par $H$ si et seulement si $\phi$ est de parité symplectique et $e_K(\phi)=(-1)^r$. Ceci prouve dans ce cas une conjecture de Prasad et Takloo-Bighash.

Let $n$ be a positive integer, $F$ a non-Archimedean locally compact field of residue characteristic $p\neq2$ and $G$ an inner form of $GL_{2n}(F)$. This is a group of the form $GL_r(D)$ for a positive integer $r$ and division $F$-algebra $D$ of reduced degree $d$ such that $rd=2n$. Let $K$ be a quadratic extension of $F$ in the algebra of matrices of size $r$ with coefficients in $D$, and $H$ be its centralizer in $G$. We study selfdual cuspidal complex representations of $G$ and their distinction by $H$ from the point of view of type theory. Given such a representation $\pi$, we compute the value at $1/2$ of the epsilon factor of the restriction of the Langlands parameter $\phi$ of $\pi$ to the Weil-Deligne group of $K$, denoted $e_K(\phi)$. When $F$ has characteristic $0$, we deduce that $\pi$ is $H$-distinguished if and only if $\phi$ is symplectic and $e_K(\phi)=(-1)^r$.
This proves in this case a conjecture by Prasad-Takloo-Bighash.

Cuspidal representation, distinguished representation, Endo-class, root number, symplectic parameter, type theory
Cuspidal representation, distinguished representation, Endo-class, root number, symplectic parameter, type theory

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