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Représentations de groupes de surfaces dans $\mathsf{SO}(n,n+1)$ et fibrés de Higgs

$SO(n,n+1)$-surface group representations and Higgs bundles

Brian COLLIER
Représentations de groupes de surfaces dans $\mathsf{SO}(n,n+1)$ et fibrés de Higgs
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 6
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53C07, 22E40; 20H10, 14H60
  • Pages : 1561-1616
  • DOI : 10.24033/asens.2454

Nous utilisons la théorie des fibrés de Higgs pour étudier la variété des caractères du groupe fondamental d'une surface $S$ fermée de genre $g\geq 2$ dans le groupe de Lie $SO(n,n+1)$. Pour tout entier $0<d\leq n(2g-2)$, nous montrons l'existence d'une composante connexe de la variété des caractères difféomorphe au produit d'un fibré vectoriel sur le produit symétrique de $S$ avec l'espace vectoriel des différentielles holomorphes de degré  2, 4, ....., 2n-2. Pour $d=n(2g-2)$, nous retrouvons la paramétrisation de Hitchin de la composante de Hitchin. Nous montrons aussi l'existence de $2^{2g+1}-1$ nouvelles composantes connexes de la variété des caractères et décrivons leur topologie. Ces composantes ne contiennent aucune représentation dont l'adhérence de Zariski de l'image est compacte. En utilisant des résultats récents de Guichard et Wienhard sur la notion de positivité, nous montrons que les représentations réductibles de ces $2^{2g+1}-1$ composantes sont Anosov.

 

We study the character variety of representations of the fundamental group of a closed surface of genus ${g\geq 2}$ into the Lie group $SO(n,n+1)$ using Higgs bundles. For each integer $0<d\leq n(2g-2),$ we show there is a smooth connected component of the character variety which is diffeomorphic to the product of a certain vector bundle over a symmetric product of a Riemann surface with the vector space of holomorphic differentials of degree $2,4,....,2n-2.$ In particular, when $d=n(2g-2)$, this recovers Hitchin's parameterization of the Hitchin component. We also exhibit $2^{2g+1}-1$ additional connected components of the $SO(n,n+1)$-character variety and compute their topology.
Moreover, representations in all of these new components cannot be continuously deformed to representations with compact Zariski closure. Using recent work of Guichard-Wienhard on positivity, it is shown that each of the representations which define singularities (i.e., those which are not irreducible) in these $2^{2g+1}-1$ connected components are positive Anosov representations.

fibrés de Higgs, variété des caractères
Higgs bundles, character varieties
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